平均値の定理 - 球面倶楽部零八式 mark II

区間 $[a,b]$ で連続， $(a,b)$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して，
$f(b)−f(a)=f′(c)(b-a)$
を満たす $c$ が $a$ と $b$ の間に存在する。

(i) $f'(x)$ が定数関数のとき、
任意の $c\in (a,b)$ にたいして $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ が成立

(ii) $f'(x)$ が定数関数でないとき、
$f(b)-f(a)=\displaystyle\int_{a}^{b} f'(x) dx$ で、区間 $[a,b]$ における $f'(x)$ の最大値，最小値をそれぞれ $M,m$ とすると
$m(b-a)=\displaystyle\int_{a}^{b} m dx\lt \int_{a}^{b} f'(x) dx\lt \int_{a}^{b} M dx=M(b-a)$
だから、 $f(b)-f(a)=k(b-a)$ なる $k\in (m,M)$ が存在する。
中間値の定理から、 $f'(c)=k$ なる $c$ が、 $f'(x)$ の最大値と最小値を与える $x$ の両端を含まない区間に存在する。そしてこの区間は $(a,b)$ に含まれる。

これは積分の平均値の定理
$\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x) dx=f(c)$
を満たす $c$ が $a$ と $b$ の間に存在する。

において、 $f(x)$ を $f'(x)$ におきかえたもの。

この積分の平均値の定理は、非負関数 $g(x)$ に対して
$\displaystyle\int_a^b f(x) g(x) dx =f(c) \int_a^b g(x) dx$
を満たす $c$ が $a$ と $b$ の間に存在する。

に簡単に拡張することができる（ $g(x)=1$ で積分の平均値の定理）。
この定理は様々な濃度の食塩水をまぜると中間の濃度になる、という話でも登場する。

この定理で、 $g(x)=\dfrac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}$ とすると、
$\displaystyle\int_a^b f^{(n)}(x)\dfrac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}dx=f^{(n)}(c)\dfrac{-1}{n!}(b-a)^n$
が成立するが、これは、部分積分を繰り返してテイラーの定理を求めるときの剰余項を求めるのに使う。