ロジスティック曲線 - 球面倶楽部零八式 mark II

ロジスティック方程式は
$\dfrac{dg}{dx}=ax(b-x)$ （ $b\neq 0$ ）の型の微分方程式で， $x=bt$ と置換すると $\dfrac{dg}{dt}=Kt(1-t)dt$ （ $K=ab^3$ ）
となる．この方程式の解曲線をロジスティック曲線という．

いわゆる成長曲線の一種．

例えば流行現象などのモデル化に用いられる．

ある物を持っている人の数を $x$ とするとき、購買意欲は、持っている人の数 $x$ に比例すると考えるモデル．

このとき，新たに買う人 $\Delta x$ は持っていない人 $N-x$ （人口を $N$ とする）のうち $kx$ の割合で購入するのだから、
$\Delta x = kx(N-x)$
でモデル化される．これを連続モデルにするとロジスティック方程式が得られる．

教科書としては古典であるが，

微分方程式で数学モデルを作ろう

作者:デヴィッド・バージェスモラグ・ボリー
発売日: 1990/04/09
メディア: 単行本

を参照すると良い．

離散型ロジスティック方程式とも呼ばれるロジスティック写像は $x_{n+1}=Kx_n(1-x_n)$ （初期値 $x_1\in [0,1]$ ）の形をしており，この $x_n$ の変化（軌道）は $a$ の値によって複雑な挙動を示すことが知られており，この非周期的な振舞いのことはカオスと呼ばれている．

ロジスティック写像は $(0,0)，(1/2，K/4)，(1,0)$ の3点を通る放物線であるが，この3点を通る折れ線で与えた
$f(x)=\dfrac{K}{4}(1-|2x-1|)=\left\{ \begin{array} {}\dfrac{K}{2} x & \Bigl( 0\leqq x\leqq \dfrac{1}{2}\Bigr) \\ \dfrac{K}{2}(1-x) & \Bigl(\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq 1\Bigr) \end{array}\right.$
をテント写像という．テント写像を合成すると4つの折れ線，8つの折れ線，16個の折れ線，...と折れ線の個数が倍々になる．

(連続しているエントリーだが)
パイこね変換 - 球面倶楽部零八式 mark II
も参照のこと。