カントール集合 - 球面倶楽部零八式 mark II

閉区間 $[0,1]$ に属する実数を三進小数で表現したとき，どの桁にも1が含まれないような表示ができるものの全体からなる集合で、

$C_0=[0,1]$ ，
$C_1=\Bigl[0,\dfrac{1}{3}\Bigr]\cup\Bigl[\dfrac{2}{3},1\Bigr]$ ，
$C_2=\Bigl[0,\dfrac{1}{9}\Bigr]\cup\Bigl[\dfrac{2}{9},\dfrac{3}{9}\Bigr]\cup\Bigl[\dfrac{6}{9},\dfrac{7}{9}\Bigr]\cup\Bigl[\dfrac{8}{9},1\Bigr]$ ，
と続いていった極限となる．

カントール集合は，テント写像
 パイこね変換 - 球面倶楽部零八式 mark II
ロジスティック曲線 - 球面倶楽部零八式 mark II

$f(x)=\dfrac{3}{2}(1-|2x-1|)=\left\{ \begin{array} {} 3x & \Bigl( 0\leqq x\leqq \dfrac{1}{2}\Bigr) \\ 3(1-x) & \Bigl(\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq 1\Bigr) \end{array}\right.$
において
$\displaystyle f^n(x_0)\to -\infty$ とならない $x_0$ の集合として得られることが知られている．

これに関しては、
img.atwikiimg.com
のスレ107の

【問題】
a[1]＝a
a[n]＝3/2-|3a[n-1]-3/2| (n≧2)
とする．このとき，
（１）a＝1/2のときa[n]が発散することを示せ．
（２）a＝3/4のときa[n]が収束することを示せ．
（３）1/3＜a＜2/3のときa[n]が発散することを示せ．
（４）0≦a≦1のときa[n]が収束するためのaの条件を求めよ．

がある。スレ122（2001年9月25日）に「東大入試には出ないけどね」とあるけど、2002年の東大後期入試に類題が出題されたな。預言者か？

ちなみに、カントール集合のフラクタル次元は $\dfrac{\log 2}{\log 3}$

カントール集合に属する実数は三進小数で0か2しか登場しないので、それを2で割ると、 $[0,1]$ の二進小数と1対1の対応をしているので、
カントール集合の濃度は $[0,1]$ の実数と同じ、つまり実数体と同じ濃度をもつことがわかる．