2元1次連立方程式のクラメルの公式

数学

ax+by+c=0，px+qy+r=0 という連立方程式を解くことは，2次元射影平面上の2直線
ax+by+cz=0 と px+qy+rz=0 の交点を求めることと同じで、普通に \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\parallel \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix}
となる．つまり、2次元射影平面上の2直線の交点は法線ベクトルの外積を計算すれば得られるということで，これを普通の座標に直したものがクラメルの公式と同じ結果になっているという，まぁ，あたりまえの話．

点と直線の双対性を考えると，射影平面上の異なる2点を通る直線は，同次座標を3次元ベクトルと思って外積をとった結果を法線ベクトルとすることがわかる．

このことから，射影平面上の異なる3点が共線である条件は、3つの同次座標を並べてできる3次行列の行列式が0となることであり，射影平面上の異なる3直線が共点である条件は、直線の3つの法線ベクトルを並べてできる3次行列の行列式が0となることである．