等差×等比の和 - 球面倶楽部零八式 mark II

$a_n=(pn+q)r^n$ （ $r\neq 1$ ）のとき $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_n$ を求めるのに、まぁ、マジメにやっても良いけど、 $a_{n+2}-2ra_{n+1}+r^2a_n=0$ だから
$S_{n+2}-2rS_{n+1}+r^2 S_n=a_1+a_2 -2r a_1$
となって， $S_n$ は特性方程式の解が $r,r,1$ の隣接4項間の漸化式をみたすから，
$S_n=(\alpha n+\beta)r^{n-1}+\gamma$
の形であることがわかる．

例えば $\displaystyle\sum_{k=1}^n k\cdot 2^k=:S_n$ とおくと
$S_1=2$ ， $S_2=2+8=10$ ， $S_3=10+24=34$
であり， $S_n=(\alpha n+\beta)2^{n-1}+\gamma$ とおくと
$\alpha+\beta+\gamma=2$ ， $4\alpha+2\beta+\gamma=10$ ， $12\alpha+4\beta+\gamma=34$
から $\alpha=4，\beta=-4，\gamma=2$ となるので $S_n=(4n-4)2^{n-1}+2$ となる．

同様に考えると， $a_n=(n次式)\times r^n$ （ $r\neq 1$ ）のとき $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_n$ は $S_n=(n次式)\times r^n+(定数)$ の型をしていることがわかる．

このことは，シフト演算子 $T:a_n\mapsto a_{n+1}$ ，差分演算子 $\Delta:a_n\mapsto a_{n+1}-a_n$ ( $\Delta=T-1$ )を用いて
$\Delta (S_n)=(n次式)\times r^n$ から $(T-1)(T-r)^{n} (S_n)=\Delta (T-r)^{n} (S_n)=0$ が言えるので
$S_n$ の特性方程式は $(\lambda-1)(\lambda-r)^{n}$ となることから直ちにわかる．