解析力学でラグランジアンを微分する時の、「xとxドットを独立とみてもいいのか」問題

大学1年生のときの解析力学の単位は落としたけど
L-x\dot{x} 空間の \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)=\dfrac{\partial L}{\partial x} における切り口が物理として実現できる世界、という意味だと思っていた。

も結局はそういうことが言いたいんだよね。

例えば、x^x を微分するときに
s=x,t=x とおいてs,t が独立変数だと考えて
\dfrac{\partial}{\partial x}(s^t)=ts^{t-1}\dfrac{\partial s}{\partial x}+(\log s)s^t \dfrac{\partial t}{\partial x}
とした後に s=x,t=x を代入して
\dfrac{d}{dx}(x^x)=xx^{x-1}\dfrac{dx}{dx}+(\log x)x^x \dfrac{dx}{dx}=x^{x}+(\log x)x^x
と求める方法と同じ感じ。知らんけど。

も同じことが書いてある。

そもそも、この微分が「xとxドットを独立とみた微分」になっていると思ったことがないので、この疑問自体が謎なのだが。

2022.06.18記
L(f(x),g(x)) があるときに
\dfrac{dL}{dx}=\dfrac{\partial L}{\partial f}\cdot\dfrac{\partial f}{\partial x}+\dfrac{\partial L}{\partial g}\cdot\dfrac{\partial g}{\partial x}
つまり
dL=\dfrac{\partial L}{\partial f}df+\dfrac{\partial L}{\partial g}dg
となることは偏微分で普通に習うことなので、それと同じ。この式変形において，f,g が独立か従属は全く関係がないので、
「xとxドットを独立とみた微分」
と考えること自体が謎、というか偏微分は常にそういう考え方で行なわれている。
「xを定数とみてyを変数とみて微分すると偏微分係数が求まる」
ということは普通だと思って、
「xを定数とみてxドットを変数とみて微分することがおかしい」
と考えること自体謎。

2023.10.21追記
解析力学もこの季節（xとxドットを独立とみて微分する話） - 球面倶楽部 零八式 mark II