備忘録:Clopper-Pearsonの信頼区間へのリンク

母比率の信頼区間で通常の教科書にあるのは二項分布を正規分布で近似したときの信頼区間で Wald の信頼区間と呼ばれる。

二項分布の確率を真面目に計算したものが Clopper-Pearsonの信頼区間

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名古屋大学2024年4番

備忘録:平行軸の定理(ホイヘンス-シュタイナーの定理)

定期的に

中線定理やスチュワートの定理が、分散公式を意味しているという話が X(旧Twitter)で話題になるが、それが力学の

平行軸の定理 - Wikipedia

(ある軸に関する物体の慣性モーメントは,重心を通りその軸に平行な軸についての慣性モーメントと,着目している軸に関して,全質量が重心に集中しているとして得られる慣性モーメントとの和として表せること)

とも等価であるという話が

Ikuro's home page の
初等物理の問題(その6)

(この定理は物理学の問題や確率論の問題に応用されている.たとえば,ベクトルpkを位置ベクトルとみれば慣性モーメントの問題となるし,速度ベクトルとみれば運動エネルギーの問題に転化する.全分散を群間分散と群内分散に分解すると考えれば「分散分析」の問題となるのである.)

にある.

以下、引用

多角形の各頂点に重み w_k を設ける.たとえば三角形の場合,重心は

\overrightarrow{\mbox{OG}}=\dfrac{w_1\overrightarrow{\mbox{OA}}+w_2\overrightarrow{\mbox{OB}}+w_3\overrightarrow{\mbox{OC}}}{
w_1+w_2+w_3}

ここで,始点を \mbox{O} から \mbox{P} に変えても
\overrightarrow{\mbox{PG}}=
\dfrac{w_1\overrightarrow{\mbox{PA}}+w_2\overrightarrow{\mbox{PB}}+w_3\overrightarrow{\mbox{PC}}}{
w_1+w_2+w_3}
となって,重心の位置は座標や原点の取り方に依存しないことがわかる.また,始点を G に変えると,
w_1\overrightarrow{\mbox{PA}}+w_2\overrightarrow{\mbox{PB}}+w_3\overrightarrow{\mbox{PC}}
=\overrightarrow{0}
となる.

ここでは1次モーメントを考えたが,2次モーメントについては,
w_1|\overrightarrow{\mbox{OA}}|^2+w_2|\overrightarrow{\mbox{OB}}|^2+w_3|\overrightarrow{\mbox{OC}}|^2=w_1|\overrightarrow{\mbox{OG}}+\overrightarrow{\mbox{GA}}|^2+w_2|\overrightarrow{\mbox{OG}}+\overrightarrow{\mbox{GB}}|^2+w_3|\overrightarrow{\mbox{OG}}+\overrightarrow{\mbox{GC}}|^2=(w_1+w_2+w_3) |\overrightarrow{\mbox{OG}}|^2+2\overrightarrow{\mbox{OG}}\cdot(w_1\overrightarrow{\mbox{GA}}+w_2\overrightarrow{\mbox{GB}}+w_3\overrightarrow{\mbox{GC}})+w_1|\overrightarrow{\mbox{GA}}|^2+w_2|\overrightarrow{\mbox{GB}}|^2+w_3|\overrightarrow{\mbox{GC}}|^2

ここで,
w_1\overrightarrow{\mbox{GA}}+w_2\overrightarrow{\mbox{GB}}+w_3\overrightarrow{\mbox{GC}}=\overrightarrow{0}
より,
w_1|\overrightarrow{\mbox{OA}}|^2+w_2|\overrightarrow{\mbox{OB}}|^2+w_3|\overrightarrow{\mbox{OC}}|^2=(w_1+w_2+w_3)|\overrightarrow{\mbox{OG}}|^2+w_1|\overrightarrow{\mbox{GA}}|^2+w_2|\overrightarrow{\mbox{GB}}|^2+w_3|\overrightarrow{\mbox{GC}}|^2

すなわち,点 \mbox{O} に関する2次モーメントの和は,点 \mbox{O} に関する重心 \mbox{G} の2次モーメントと重心 \mbox{G} に関する2次モーメントの和に等しいというのがシュタイナーの定理である.

これは数学的にはスチュアートの定理そのものでもある.
 n|\overrightarrow{\mbox{AB}}|^2+m|\overrightarrow{\mbox{AC}}|^2=n|\overrightarrow{\mbox{GB}}|^2+m|\overrightarrow{\mbox{GC}}|^2+(m+n)|\overrightarrow{\mbox{GA}}|^2

物理的には

1次モーメント=運動量保存の法則

2次モーメント=角運動量保存の法則(あるいはエネルギー保存の法則

に相当する.

1次モーメント=平均

2次モーメント=分散

という対応をしているという訳だ.

備忘録:スチュワートの定理 - 球面倶楽部 零八式 mark II

はてなブログやる気ないだろ

以前は、本館と別館の切り替えが1クリックでできたのに、今は切り替えが非常に面倒で、

Google の検索履歴から新しく立ち上げる方が速い

というのは、頭が悪すぎるだろ。はてなブログを廃止したいのだろうな。

ちなみに現在は
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となる.ブログを書く前に、ブログを表示したいんじゃー