f(x)が f'(x) で割り切れるとき

数学


3 次多項式 f(x) が任意の x に対して f'(x)f''(x)=f(x) を満たしている。
f''(0)=\dfrac{1}{2} であるとき，f(0) の値を求めよ。

1989年(昭和64年)京都大学前期-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
から f(x)=A(x-p)^3（A\neq 0）と書けることがわかる．

[解答]
3 次多項式 f(x) が f'(x) で割り切れるので
f(x)=A(x-p)^3（A\neq 0）
と書くことができる．このとき f(0)=-Ap^3，f'(0)=3Ap^2，f''(0)=-6Ap であるから，
-6Ap=\dfrac{1}{2}，-Ap^3=-18A^2p^3
となり A=\dfrac{1}{18}，p=-\dfrac{3}{2} であり，
f(x)=\dfrac{1}{18}\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^3
である．よって f(0)=\dfrac{3}{16} となる．

最高次の係数比較をすれば A=\dfrac{1}{18} であることがすぐにわかるが係数比較をしない書き方をした．なお，f''(0)=0 となるときは最高次の係数を比較しなければならない．

ちなみに次数を比較すれば3次以下であることがわかり，f''(0)\neq 0 から f(x) は2次以上であることがわかる．そして f(x) が2次式のとき f(x)=\dfrac{1}{4}(x-p)^2 と書けることから f''(0)=\dfrac{1}{4} でなければならないので矛盾するので，本問において「3次」という条件は不要である．

[別解]
多項式 f(x) が f'(x) で割り切れるときは f(x)=A(x-p)^n（A\neq 0）の形をすることを知っていれば条件を微分して
\{f''(x)\}^2+f'(x)f'''(x)=f'(x)，
さらに微分して
2f''(x)f'''(x)+f''(x)f'''(x)=f''(x)（3次式の4階微分は0）
となり
1+4f'(0)f'''(0)=4f'(0)，
3f'''(0)=1（3次式の4階微分は0）
が成立する．よって
3+4f'(0)=12f'(0)
から f'(0)=\dfrac{3}{8} となり f(0)=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{16} となる．

（実際は f(x) が存在するならば f(0)=\dfrac{3}{16} でなければならない，ということしか示していないが，f(x) の存在は前提とした）

「3次多項式である」という条件を「3階微分は0でなく4階微分が0となる」と考えれば4階微分が登場するまで微分するのは自然．

クジマ歌えば家ほろろ

アニメ

#9 で九大伊都キャンパスが登場したけど、まるで駅から徒歩で行けるような描写が、、、。

最終回の半分は音楽と映像だけの構成で、まあ、ねぇ。好みは人それぞれだね。

備忘録：

数学

{}_{62}\mbox{C}_{26}:{}_{62}\mbox{C}_{27}:{}_{62}\mbox{C}_{28}=3:4:5 なのか

{}_{62}\mbox{C}_{26}=69923143311577493\times 3

であり，P=69923143311577493=7⋅19⋅29⋅31⋅37⋅41⋅43⋅47⋅53⋅59⋅61 と計算できる．

\dfrac{62\times \cdots\times 37}{26!}，\dfrac{62\times \cdots\times 36}{27!}，\dfrac{62\times \cdots\times 35}{28!}

すべてにおいて 37 以上の素数は分子に1つずつしかない．
31，29 は 62/2，58/2 で分子に残る．
23 は分子の 46 と分母の 23 で約され登場しない．
19 は分子の 57，38 が分母の 19 で1つだけ約されるので1つ残る．
17 は分子の 51 が分母の 17 で約されるので登場しない．
13 は分子の 52，39 が分母の 13，26 で約されるので登場しない．
11 は分子の 55，44 が分母の 11，22 で約されるので登場しない．
7 は最初の2つは 56，49，42 が分母の 7，14，21 で約されるので1つ残り，
最後の1つは 56，49，42，35 が分母の 7，14，21，28 で約されるので1つ残る．

よって {}_{62}\mbox{C}_{26}，{}_{62}\mbox{C}_{27}，{}_{62}\mbox{C}_{28} は P で割り切れ，その商には素因数 2，3，5 しか含まれない．

ルジャンドルの公式から
62! が 5 で割り切れる回数は 14 回
26!，27!，28! が 5 で割り切れる回数は 6 回
36!，35!，34! が 5 で割り切れる回数は 8，8，7 回
だから {}_{62}\mbox{C}_{28} のみ5を1つ含む

あと2，3でやれば素因数分解が完了する．

{}_{62}\mbox{C}_{26}=3⋅7⋅19⋅29⋅31⋅37⋅41⋅43⋅47⋅53⋅59⋅61
{}_{62}\mbox{C}_{27}=2^2⋅7⋅19⋅29⋅31⋅37⋅41⋅43⋅47⋅53⋅59⋅61
{}_{62}\mbox{C}_{28}=5⋅7⋅19⋅29⋅31⋅37⋅41⋅43⋅47⋅53⋅59⋅61

というのはなかなか、、、




https://www.fq.math.ca/Scanned/40-1/luca.pdf








​


です。

備忘録

数学

0に近いものは逆数をとると見易くなるというのはその通りだ