備忘録：1990年頃の東大実戦か京大実戦かなんかで見たような

数学

こういった問題は
g(x)=xf(x)-\lambda\alpha\beta
か
h(x)=f(x)-\lambda(\alpha+\beta-x)
を考えて g(\alpha)=g(\beta)=0 もしくは h(\alpha)=h(\beta)=0 から
g(x)=xf(x)-\lambda\alpha\beta=(x-\alpha)(x-\beta)(x-u)
（g(0) を考えて (u-\lambda)\alpha\beta=0）
または
h(x)=f(x)-\lambda(\alpha+\beta-x)=(x-\alpha)(x-\beta)
を使うのが良くある話．

（参照した解法では g(x) を考えているが，g(\lambda)=0 だからといって，\lambda が \alpha や \beta と異なるとは限らないので安直に g(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\lambda) と因数分解できないので，展開して重解の場合でも使える解と係数の関係に持ち込んでから g(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\lambda) と因数分解している）

備忘録：難問 tan(π/16)<1/5

数学

0.19891236738\lt\dfrac{1}{5} は工夫が必要．tan(π/16) の値から

と \dfrac{1}{1-5\tan\dfrac{\pi}{16}}\gt 0 となることを示すのも良いが4倍角のかわりに複素数で

(5+i)^4=476+480i より \tan\theta=\dfrac{1}{5} なる鋭角 \theta について
\tan4\theta=\dfrac{476}{480}\lt 1=\tan\dfrac{\pi}{4}
より 4\theta\lt \dfrac{\pi}{4} から \theta\lt \dfrac{\pi}{16} となり \tan\dfrac{\pi}{16}\lt \tan\theta=\dfrac{1}{5} となる，というのももいいね。

立方体の一辺の長さ（その2）

立方体の一辺の長さ - 球面倶楽部 零八式 mark II
（直交行列の転置も直交行列）を使うと

l^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2，x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=0

だから
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-(y_1^2+y_2^2+y_3^2)+2(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)i=0
であり，
2l^2=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+(y_1^2+y_2^2+y_3^2) から
l=\sqrt{\dfrac{|\alpha|^2+|\beta|^2+|\gamma|^2}{2}}
となる．

の Since の部分は自明ではないと思うのだが（直交行列は転置をしても直交行列だから自明、というのを除いて）．

1993年(平成5年)東京大学後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

でも面倒だったのは直交行列の性質を用いずに Since の部分を示すことで，もしこの性質を用いずに簡単に示せるならば是非知りたい
(正射影ベクトルでの証明は実質直交行列の性質である)．

ちなみに直交行列の転置が直交行列というのは「逆行列の性質 B が A の左逆行列ならば、右逆行列でもある(定義に含めることが多い)」と「直交行列の定義である転置を右から掛けると単位行列」とから自明になる．つまり行列を習っていない場合、

「逆行列の性質 B が A の左逆行列ならば、右逆行列でもある」

が正しいことを定義として片づけるのではなく示さなければならないということになる．有限次元において行列の結合法則を用いると
右単位行列と左単位行列が存在して一致(まぁ具体的表現があるので自明でもある)することも鑑みて

左逆行列 L と右逆行列 R の両方が存在するならば

L=LI=L(AR)=(LA)R=IR=R

となる．行列を使わないということは、

「行列の結合法則を用いない」，「左逆行列と右逆行列の両方が存在することを用いない」

ということだから難しいということである．

なるほど、光年を距離じゃなくて時間と思うのか、、、

2026.06.26追記

これに対して

という意見も．既に誤用が定着しているようだ．