2次式以上で割る組み立て除法はあまり知られていないようで、blog.livedoor.jpなどは、 組立除法の拡張(pdf) などを参照したりするのだが、「森岡一俊，LUSTER 受験数学I，駸々堂，1990」p.7 にも記載されている割と古くから知られている方法である。2024.12…

「V 上の双線型形式を与えることは V からの V* への線型写像を与えること」は、「V × V → R のカリー化で V → (V → R) が得られ、前者の双線形性から後者は線形写像となる」というと一部の人には受け入れやすいかも。前者が非退化であるとは、後者が線形同…

ほんとだ！どうしてだろう。 https://t.co/xvmySOW0TL pic.twitter.com/2vzCHW2Xyp— 林 俊介 @ “語り合う京大数学” 重版決定！ (@884_96) 2024年12月1日 2次正方行列で固有値が の場合，ケーリー-ハミルトンの定理から となるので となって当たり前．スペク…

剰余の定理は多項式 を で割った余りは となる，というやつ．因数定理は多項式 について と が を因数にもつことが同値，というやつ．両者を組み合わせると多項式 について は任意の に対して を因数にもつことがわかる．この商を とおくと for all となる．…

正方形の問題、こんなにスマートな式で表せると思ってなかった pic.twitter.com/wM98BgOMw7— きいねく (@Keyneqq) 2024年11月20日 面白い．w の方向の選び方は 通りあるので、このような正方形は一般に6個できる訳か． もともと4点が正方形をなす場合は無数…

二項分布 において である．ここで が の一様分布から得られると仮定すると が成立し， と の交換を許せば が成立する．ここで面白いのは， が によらず一定であるため， という式になるところである．この が によらず一定であることを認めれば， が成立し…

昔解いた問題．意外と苦戦する．背景が良くわからない． は実数の定数で であり，’ とする．方程式 は1つの実解 と2つの虚数解をもつ．このとき，方程式 の実数解を とすると であることを証明し， を と で表せ． [解答] （ は実数，）とおくと ， により …

斜めの楕円の面積 - 球面倶楽部 零八式 mark II

一般は半径 の 次元超球体の体積を で微分すれば半径 の 次元超球面の表面積（ 次元体積）が求まる．そこでn次元球体の体積を求めてみよう． 次元極座標： ， ， ， …， ， について， 次元極座標のヤコビアンは となる．というのも となるので， が帰納的に…

超球体の体積と超球面の面積を確認するときに見つけた pdf なのだが面白そう． n次元空間における反転幾何を用いたn次超球の体積の導出(pdf)

バルビエの定理 - 球面倶楽部 零八式 mark II 軸上の線分要素 を 方向に垂直な直線に正射影した線分要素は だから，これを全方向で積分すると， となる．よってこれを凸図形の周で積分すると，凸図形の表と裏で重なることに注意すると ， つまり ， が成立す…

X で流れてきた 3Blue1BrownJapan のwww.youtube.comを見て，これって曲線と曲面の微分幾何（改訂版）作者:小林 昭七裳華房Amazonの p.22 にも載っている問題（定幅曲線の場合はバルビエの定理と呼ばれるので一般バルビエの定理としておこう）の拡張じゃない…

極方程式 を境界とする領域を横軸（ 軸）のまわりに回転させてできる立体の体積を考える際，，， を頂点とする三角形を横軸（ 軸）のまわりに回転させてできる微小立体の微小体積を求める必要がある．良くある方法は傘型を開いて錐で近似する手法だが，manab…

そんなに問題もってないし，詳しくない分野の問題は解けないので，そんなに続かないよ．

次の定積分の値を求めよ． ただし，積分領域 を次で定める． [解答] は 極表示すると ，つまり となるので求める定積分を とおくと （） （） 同様に考えると， のとき， が成立するはずで，実際右辺を微分してみると となっている．

を変数とする次数2以下の実係数多項式全体のなす実線型空間を とする． を実数とし，線型写像 を ， と定める．(1) を対角化する の基底が存在するための に対する必要十分条件を求めよ．(2) ， を同時に対角化する の基底が存在するための に対する必要十分…

実数 に対して，次の値を求めよ． 最初，フルラニ積分（Furullani integral） に帰着させるのかと思ったが，部分積分をすると が登場し，フルラニ積分に帰着させる問題ではないことに気がついた．ちょっと綺麗に書くために を考えて を計算する方針にした．…

第1問 3次巡回行列の固有値・固有空間の話． の固有値は とおくと ，， であり，対応する固有ベクトルは順番に ，， である．ここで ， から， の直交補空間 の像は に含まれることがわかる．なお， の表す線型変換は軸 に関して120度回転した位置にある基本…

を求めるとき，つい数列っぽいので とおいて の比較しようとして と求めれば という等式が得られるので， となり となるので として と求めれば，，，思ったが， を微分して となり， だから微分して となり， だから微分して となるので， として でいいん…

連立方程式 ， を解くとき，後者から求めた を前者に代入すると が得られ，これと から が得られるという基本的な解法がある．これは ， の交点を通る直線（のうち 以外のものが）が束（pencil）で と表現できるので，この直線のうち 軸に平行なものを探すと…

与えられた4次方程式の左辺にx^2021を掛けた2025次式をf(x)とし，一方でg(x)=(x-1)^2025とすると、根の1次〜4次対称式の値がfとgで一致。したがって根の1乗和〜4乗和の値がfとgで一致。一方、gの根のk乗和は常に2025なのでア=イ=ウ=エ＝2025ってわけね。なる…

Sugeno integral - Wikipediaあんまりファジィとか勉強してこなかったので、反省して勉強しよう。菅野積分の具体例は h-index。

∀∃ に慣れるための練習として、P(x, y) = 「x は y を愛する」とおいて、(1) ∀x ∀y P(x, y)(2) ∀x ∃y P(x, y)(3) ∃y ∀x P(x, y)(4) ∃x ∀y P(x, y)(5) ∀y ∃x P(x, y)(6) ∃x ∃y P(x, y)のそれぞれを「日本語訳」して見るといいと思います。全部違った意味にな…

杉浦光夫『解析入門Ⅰ』のp.175には【(*) lim_{t→0} sin t/t = 1～円弧の長さを例えば積分で定義したとしても, その積分を計尊するのに(*)を用いなければならぬのでは循環論法になってしまう】と非常によろしくない説明がある。おそらく、これは循環論法とい…

2024年第1回束大実戦理系1番 [1] 1辺の長さ1の正三角形 がある．点 が辺 上の端点以外を動くとき，三角形 の内接円の半径 と三角形 の内接円の半径 の和 のとりうる値の範囲を求めよ．角の二等分線に関する公式 は有名ですが，正三角形の場合，角の二等分線…

2024年第1回束大実戦理系2番 [2] は を満たす定数とする． において定義された関数 がとりうる値の範囲を求めよ．これは正数 ， の 乗平均で全実数 について定義され（ のときは の極限）， について単調増加であることが知られている．そして で最小値， で…

Faà di Bruno の公式 Faà di Bruno's formula - Wikipedia一般の の表現は複雑な形をしているが，具体的な についてはコツをつかめばまぁまぁ簡単に計算ができる． とおく．真面目に計算すると ， と続いていく．これをこのまま微分して を求めても良いが，…

Aが対称行列のときに、AX=-XAとなる行列Xってどう考える？対角化の視点から考えてるんだけどわからない、、Aが対称行列だから直行行列によって対角化できそうだけど、— すうがくがんばりたい (@mathyowa_kun) 2024年7月6日 Aが対称行列のときに、AX=-XAとな…

を微分せよ．合成関数の微分法により となり，これはこれで良いのであるが，ふと とおくと だから となるのでは？と思った．そこで と変形することによって，この値は に等しい！と一瞬思いかけたがすぐに じゃなきゃいけないことに気がついて， となる必要…

#数楽 個人的な意見では、三角函数の加法定理は中学校数学の幾何の範囲内で理解できる非常に面白い話なので、特に時間をかけて教えることは極めて教育的だと思います。(三角函数の加法定理にはラジアンの知識は不要なので中学校レベル)直角三角形の並べ方を…