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数学

昔解いた問題．意外と苦戦する．背景が良くわからない．

a，b，c は実数の定数で c\neq 0 であり，’
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
とする．方程式 f(x)=0 は1つの実解 \alpha と2つの虚数解をもつ．このとき，方程式
2f(x)-f''(x)f'(x)=0
の実数解を \beta とすると f'(\beta)\gt 0 であることを証明し，\beta^2+f(\beta) を \alpha と c で表せ．

[解答]
f(x)=(x-\alpha)\{(x-p)^2+q^2\}（p，q は実数，q\neq 0）とおくと
f'(x)=(x-p)^2+q^2+2(x-\alpha)(x-p)，
f’'(x)=4(x-p)+2(x-\alpha)
により
g(x)=2f(x)-f''(x)f'(x)=-4(x-p)\{(2x-\alpha-p)^2+q^2\}
であるから，\beta=p である．

よって f'(\beta)=f'(p)=q^2\gt 0 であり，\beta^2+f'(\beta)=p^2+q^2 となるが，f(x) の解と係数の関係により c=-\alpha(p^2+q^2) であり，c\neq 0 から \alpha\neq 0 であるから，
\beta^2+f'(\beta)=-\dfrac{c}{\alpha}
となる．