Todo：調べておこう[解決]

数学


(浜松医大2018年)

高校生のとき，x+y+z=0 のとき，
\dfrac{S_l}{l}\times\dfrac{S_m}{m}＝\dfrac{S_n}{n}（l\leqq m）
が恒等式となるような自然数の組は
(2,3,5)，(2,5,7) しかないことを証明したように思うが，出典を確認できるだろうか？

2022.11.08追記（ここから）
複数見た記憶の1つを発見した．

教科書にない高校数学―大学入試/高校生に贈る

教科書にない高校数学―大学入試/高校生に贈る

Amazon

の p.92だった．「某誌の記事なら某誌に質問したどう…」とあるが，これは「大学への数学」と思われるので，おそらく大数でも見たと思う．でもこの本の著者の石谷さんは昔大数に書いていたような…
（ここまで）


とりあえず，

Putnam and Beyond (English Edition)

Putnam and Beyond (English Edition)

Amazon

の p56 2.2.4 Viète Relations （解と係数の関係）に 1957年の中国数学コンテストに
\dfrac{S_2}{2}\times\dfrac{S_5}{5}＝\dfrac{S_7}{7}
を示す問題が出題されたと書いてある．

x,y,z を解とする方程式を t^3+pt+q とおくと
x^2+y^2+z^2=-2p，
x^3+y^3+z^3=-3q，
x^4+y^4+z^4=2p^2，
x^5+y^5+z^5=5pq，
x^6+y^6+z^6=-2p^3+3q^2，
x^7+y^7+z^7=-7p^2q
が成立することから，

\dfrac{S_2}{2}\times\dfrac{S_3}{3}＝\dfrac{S_5}{5}，\dfrac{S_2}{2}\times\dfrac{S_5}{5}＝\dfrac{S_7}{7}

が成立することがわかる．それ以外で成立しない証明はそのうち考えよう（先に出典を見つけそうだ）．

なお，同じ2018年、静岡大学前期（教育，理（生命科，地球科学科），農学部，地域創造学環）[1]に

実数x，y，zが次の3つの等式
x+y+z=0，x^3+y^3+z^3=3，x^5+y^5+z^5=15，
を満たしている．x^2+y^2+z^2=aとおくとき，次の問いに答えよ．

(1) xy+yz+zx をa を用いて表せ．

(2) xyz の値を求めよ．

(3) a の値を求めよ．

という問題が出題されているが，これを知っていると a=2\times\dfrac{3}{3}\times\dfrac{15}{5}=6 となることがわかる．

ちなみに，twitter のどっかで見た

\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{7}}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}(5-3\sqrt[3]{7})}

という問題も Putnam and Beyond の p.58 に載っている。
x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0 において x+\dfrac{1}{x}=y とおいた y についての3次方程式 y^3+y^2-2y-1=0 の3解が
2\cos\dfrac{2\pi}{7}，2\cos\dfrac{4\pi}{7}，2\cos\dfrac{8\pi}{7}
だから，
X^3=2\cos\dfrac{2\pi}{7}，Y^3=2\cos\dfrac{4\pi}{7}，Z^3=2\cos\dfrac{8\pi}{7}
とおいて，
XYZ=\sqrt[3]{X^3Y^3Z^3}=1，X^3Y^3+Y^3Z^3+Z^3X^3=-2，X^3+Y^3+Z^3=-1
と
X+Y+Z=u，XY+YZ+ZX=v
から u，v の連立方程式
u^3-3uv=-4，v^3-3uv=-5
を求め，これらを掛けて uv に関する3次方程式
(uv-3)^3+7=0
を求め，uv=3-\sqrt[3]{7} を得るので，u=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}} となり，この両辺を \sqrt[3]{2} で割ると

\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{7}}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}(5-3\sqrt[3]{7})}

が得られる．