射影幾何による Pappus の定理の証明 - 球面倶楽部零八式 mark II

直線 $l$ 上の3点 ${\rm A}_1$ ， ${\rm A}_2$ ， ${\rm A}_3$ ，および直線 $m$ 上の3点 ${\rm B}_1$ ， ${\rm B}_2$ ， ${\rm B}_3$ に対して，直線 ${\rm A}_{i-i}{\rm B}_{i+1}$ と ${\rm A}_{i+i}{\rm B}_{i-1}$ の交点を ${\rm P}_i$ とおく．但し添字は3を法として考える．このとき3点 ${\rm P}_1$ ， ${\rm P}_2$ ， ${\rm P}_3$ は同一直線上にある

とある資料では， ${\rm A}_{1}{\rm B}_{2}$ ， ${\rm A}_{2}{\rm B}_{3}$ ， ${\rm A}_{3}{\rm B}_{1}$ を $x=0$ ， $y=0$ ， $z=0$ とおいているが，3直線が共点のときは交点の座標が $(0,0,0)$ となってしまうので，3直線が共点のときは別に証明しなければならない．対称性が高くて証明は綺麗なのだけど．

もちろん，3直線が共点のときは極限を考えれば成り立つのだが．

とりあえず別の座標をとってみる．

$l，m$ の交点（無限遠点でも良い）を $(0,0,1)$ とし， ${\rm A}_1(0,1,0)$ ， ${\rm B}_1(1,0,0)$ とおくと $l:x=0$ ， $m:y=0$ となる．

また，直線 ${\rm A}_1{\rm B}_2$ と ${\rm A}_2{\rm B}_1$ の交点 ${\rm P}_3$ の座標を $(1,1,1)$ とする．

直線 ${\rm A}_i{\rm B}_j$ の方程式を $l_{ij}=0$ とする．

$l_{12}$ は ${\rm A}_1(0,1,0)$ と ${\rm P}_3(1,1,1)$ を通るので
$l_{12}=x-z=0$ である．

同様に $l_{21}=y-z=0$ となる．

$l_{31}$ は $l_{21}$ と $m$ の束だから $by-z=0$ とかける．

同様に $l_{13}=ax-z=0$ とかける．

$l_{23}$ は $l_{21}$ と $l$ の束だから $cx+y-z=0$ とかける一方，
$l_{13}$ と $m$ の束だから $ax+dy-z=0$ ともかけるので，
$c=a，d=1$ となり， $l_{23}=ax+y-z=0$ とかける．

同様に $l_{32}=x+by-z=0$ とかける．

よって3次曲線
$l_{12}l_{23}l_{31}$ $=(x-z)(ax+y-z)(by-z)=0$
および
$l_{21}l_{32}l_{13}$ $=(y-z)(x+by-z)(ax-z)=0$
は9点 ${\rm A}_1$ ， ${\rm A}_2$ ， ${\rm A}_3$ ， ${\rm B}_1$ ， ${\rm B}_2$ ， ${\rm B}_3$ ， ${\rm P}_1$ ， ${\rm P}_2$ ， ${\rm P}_3$
を通る．

よって2つの3次曲線の束
$l_{12}l_{23}l_{31}-l_{21}l_{32}l_{13}$
$=xy\{ a(b-1) x-b(a-1) y+(a-b)z\}=0$
も9点 ${\rm A}_1$ ， ${\rm A}_2$ ， ${\rm A}_3$ ， ${\rm B}_1$ ， ${\rm B}_2$ ， ${\rm B}_3$ ， ${\rm P}_1$ ， ${\rm P}_2$ ， ${\rm P}_3$
を通る．3点 ${\rm P}_1$ ， ${\rm P}_2$ ， ${\rm P}_3$ は $l$ 上にも $m$ 上にもないので、 $xy\neq 0$ をみたすので、
$a(b-1) x-b(a-1) y+(a-b)z=0$
をみたす．つまり，この3点は直線 $a(b-1) x-b(a-1) y+(a-b)z=0$ 上にある．