単位円周上の異なる4点を含む2次関数の式

単位円周上の異なる4点を含む2次関数が存在する条件 - 球面倶楽部零八式 mark II
の続き

単位円周上の4点の偏角を $a,b,c,d$ とし，
$A=\dfrac{a+b}{2}$ ， $B=\dfrac{a-b}{2}$ ， $C=\dfrac{c+d}{2}$ ， $D=\dfrac{c-d}{2}$
とおく．このとき $A+C=0(\mbox{mod}\,\pi)$ である．

直線 $ab$ ， $cd$ の式は、ヘッセの標準形により
$(\cos A)x+(\sin A)y-\cos B=0$ ，
$(\cos C)x+(\sin C)y-\cos D=0$
となるが， $A+C=0(\mbox{mod}\,\pi)$ により，
$(\cos A)x+(\sin A)y-\cos B=0$ ，
$(\cos A)x-(\sin A)y+\cos D=0$
となるので，2次曲線(2直線)
$\{(\cos A)x+(\sin A)y-\cos B\}\{(\cos A)x-(\sin A)y+\cos D\}=0$ ，
つまり
$(\cos^2 A)x^2-(\sin^2 A)y^2+\cos A(\cos D-\cos B)x+\sin A(\cos D+\cos B)y+\cos B\cos D =0$
は4点 $a,b,c,d$ を含む．pencil の考え方を用いると， $a,b,c,d$ は
$(\cos^2 A)x^2-(\sin^2 A)(1-x^2)+\cos A(\cos D-\cos B)x+\sin A(\cos D+\cos B)y+\cos B\cos D =0$
に含まれる．整理して
$y=\dfrac{-x^2+\cos A(\cos B-\cos D)x+\sin^2 A-\cos B\cos D}{\sin A(\cos B+\cos D)}$
となる．

$y=\dfrac{-x^2+(\cos A\cos B-\cos C\cos D)x+\sin A\sin C-\cos B\cos D}{\sin A\cos B+\sin C\cos D }$
や
$y=\dfrac{-x^2+(\cos A\cos B-\cos C\cos D)x+1-(\cos A\cos C+\cos B\cos D)}{\sin A\cos B+\sin C\cos D }$
の方が対称性が高いか．

これを積和で整理すると
$y=\dfrac{2x^2-(\cos a+\cos b-\cos c-\cos d)x-2\sin \dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{c+d}{2}+2\cos\dfrac{a-b}{2}\cos\dfrac{c-d}{2}}{\sin a+\sin b-\sin c -\sin d}$
か
$y=\dfrac{2x^2-(\cos a+\cos b-\cos c-\cos d)x+2-\cos\dfrac{a+b+c+d}{2}-\cos\dfrac{a+b-c-d}{2}-\cos\dfrac{a-b+c-d}{2}-\cos\dfrac{a-b-c+d}{2}}{\sin a+\sin b-\sin c -\sin d}$
になっていると思う．確認面倒なので放置．