備忘録：円錐・円柱・平面のみで囲まれた立体の体積を一瞬で求める方法

数学

mathlog.info

これは読むべき。ついでに球面の場合も球の中心を「良い点」とすれば良い

平面の場合は「任意の点」と平面の距離が高さ，
円柱面は「軸上の点」と円の半径が高さ，
円錐面の場合は「軸上の点」と母線までの距離が高さ，
球面の場合は「球の中心」と球の半径が高さ

とすれば

(錐体の体積)=\dfrac{1}{3}\times(面上の図形の面積)\times(高さ)

と統一的に視ることができるという話．

上記 web page とは方針が違うが，半径1の3円柱の交わりの体積 V は，その表面積を S とすると
V=\dfrac{1}{3}S
となり，円柱を平面で切ったときの側面積にサインカーブが登場することを利用すると
S=24\displaystyle\int_0^{\pi/4} 2\sin\theta\, d\theta=48-24\sqrt{2}
だから
V=16-8\sqrt{2}
となる．

いいね。

ちなみに，半径1の2円柱の交わりの体積 V は，その表面積を S とすると
V=\dfrac{1}{3}S
となり，円柱を平面で切ったときの側面積にサインカーブが登場することを利用すると
S=4\displaystyle\int_0^{\pi} 2\sin\theta\, d\theta=16
だから
V=\dfrac{16}{3}
となる．

おー。