単位円周上の異なる4点を含む2次関数が存在する条件

最近、twitter で良く見るので。

単位円周上の異なる4点を含む2次関数（または y 軸に平行な2直線）が存在する必要十分条件は、4点の偏角の和が $2\pi$ の整数倍となることである．ここで、 $y$ 軸に平行な一致しない2直線は、放物線の極限として考える．

一度に証明する方法もあるが、理解しやすいように段階的に示す

(1) $y=x^2$ と $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ が4交点をもつとき、 $y$ を消去して得られる4次方程式の $x^3$ の係数が 0 だから，4交点の $x$ 座標の和は $0$ となるので、

$y=x^2$ 上の4点が同一円周上にあることと、4点の $x$ 座標の和が $0$ となることは同値

(2) $y=x^2$ 上の2点を結ぶ直線の傾きは $x$ 座標の和という高校受験のテクニックを使うと、

$y=x^2$ 上の4点が同一円周上にあることと、「4点のうち2点を結ぶ直線の傾きと、残りの2点を結ぶ直線の傾きの和が $0$ となること」は同値

(3) 全ての円は相似、全ての2次関数は相似であるから，拡大と平行移動をすることによって、

2次関数上の4点が同一円周上にあることと、「4点のうち2点を結ぶ直線の傾きと、残りの2点を結ぶ直線の傾きの和が $0$ となること」は同値

(4) 3点を通る円、2次関数がそれぞれ一意に定まることから、

円周上の4点を通る2次関数が存在することと、「4点のうち2点を結ぶ直線の傾きと、残りの2点を結ぶ直線の傾きの和が $0$ となること」は同値

(5) 円を単位円として，単位円周上の2点を通る直線の法線方向が偏角の平均 $(\mbox{mod}\, \pi)$ になることから、

単位円周上の4点を通る2次関数が存在することと、「4点のうち2点の偏角の平均と、残りの2点の偏角の平均の和が $0(\mbox{mod}\, \pi)$ になること」は同値

(6) つまり、

単位円周上の4点を通る2次関数が存在することと、「4点の偏角の和 $0(\mbox{mod}\, 2\pi)$ になること」は同値

であることがわかる．

2021.02.19追記

単位円上の4点の偏角の和 $0(\mbox{mod}\, 2\pi)$ になること」は複素平面で「4つの複素数の積が1」と同値になるので，

単位円周上の4点を通る2次関数が存在することと、「4つの複素数の積が1」と同値になる．

この証明は、放物線の焦点を $f\in\mathbb{C}$ ，準線を $\mbox{Im}(z)=p\in\mathbb{R}$ とおくと

放物線の式は $|z-f|=|\mbox{Im}(z)-p|$ となる． $\mbox{Im}(z)=\dfrac{z-\bar{z}}{2i}$ だから，これは
$|z-f|=\Bigl|\dfrac{z-\bar{z}}{2}-pi\Bigr|$ と同値で，絶対値を外すために2乗すると，
$|z-f|^2=\Bigl|\dfrac{z-\bar{z}}{2}-pi\Bigr|^2$ と同値である．

右辺の絶対値の中身が純虚数であることに注意してすると
$(z-f)(\bar{z}-\bar{f})=-\Bigl(\dfrac{z-\bar{z}}{2}-pi\Bigr)^2$ ，つまり
$(z-f)(\bar{z}-\bar{f})+\Bigl(\dfrac{z-\bar{z}}{2}-pi\Bigr)^2=0$
が成立し，これが放物線の式である．

放物線と単位円 $|z|=1$ ，つまり $z\bar{z}=1$ との交点は $\bar{z}=\dfrac{1}{z}$ をみたすので，円と放物線の交点 $z$ は
$(z-f)\Bigl(\dfrac{1}{z}-\bar{f}\Bigr)+\left(\dfrac{z-\dfrac{1}{z}}{2}-pi\right)^2=0$
の解である．多項式にするために $4z^2$ 倍すると
$4z(z-f)(1-\bar{f}z)+\Bigl(z^2-(2pi)z-1 \Bigr)^2=0$
が成立する．整理して
$z^4-(\bar{f}+4pi)z^3+(|f|^2-1)z^2+(2pi-f)z+1=0$
となる．よって，解と係数の関係により，単位円と放物線が4交点をもつとき，それを $z_1\sim z_4$ とすると， $z_1z_2z_3z_4=1$ が成立する．

2024.01.02追記
放べきの定理（と円と放物線が4点で交わるとき） - 球面倶楽部零八式 mark II
も参照のこと