Ramanujan problem - 球面倶楽部零八式 mark II

連立方程式
$\sqrt{x}+y=7$ ， $x+\sqrt{y}=11$
はラマヌジャンの問題と呼ばれているということを知った。

まずは解いてみよう．根号内は非負だから $0\leqq x,y$ であり，
$x=11-\sqrt{y}$ だから $0\leqq x\leqq 11$ である．

$\sqrt{x}=X$ とおくと $0\leqq X\leqq \sqrt{11}$ であり，
$y=7-X$ と $y=(11-X^2)^2$
から
$X^4-22X^2+X+114=0$ ， $0\leqq X\leqq \sqrt{11}$
を解けば良い．
$X^4-22X^2+X+114=(X-3)(X^3+3X^2-13X-38)$
であり，
$f(X)=X^3+3X^2-13X-38$
とおくと
$f'(X)=3X^2+6X-13$
は正、負の解を1つずつもち，
$f'(1)\lt 0$ ， $f'(2)\gt 0$ より
$1\lt \alpha \lt 2$ なる $\alpha$ で極小となる．

$f(0)\lt 0$ ， $f(\sqrt{11})=-2\sqrt{11}-5\lt 0$
より $f(X)$ は $0\lt X\lt\sqrt{11}$ で負だから0にはならない．

よって $X=3$ ，つまり $x=9$ となる．そして $y=4$ となる．

以上から答は $(x,y)=(9,4)$ のみである．

答を出すだけならこれで良いが，もう少し考えてみよう．

$\sqrt{x}+y=7$ は放物線 $x=(y-7)^2$ の $y\leqq 7$ の部分， $x+\sqrt{y}=11$ は放物線 $y=(x-11)^2$ の $x\leqq 11$ の部分を表す．

もちろんベズーの定理から2つの放物線の交点数か高々4個であることがわかるが，この2つの放物線は $(11,0)$ を頂点として下に凸な放物線と $(0,7)$ を頂点として左に凸な放物線の交点だから，交点の数は実際に4つである．

この4つの交点はそれぞれ，下に凸な放物線の軸より右左それぞれと，左に凸な放物線の軸より上下それぞれとの交点が1つずつとなっているので（いささか直観的であるが），今回求めるべき
下に凸な放物線の軸より左側と，左に凸な放物線の軸より上側の交点は1つだけであることがわかる．つまり1つ見つければ十分ということになる．