3:4:5の直角三角形 - 球面倶楽部零八式 mark II

Thanks to this problem I realized what easy is to prove that the 3:4:5 triangle is right with no need of Pythagoras, just by using 2×1 tiles! pic.twitter.com/wrEYvjBU45
— Nèstor Abad (@nabadvin) 2021年2月20日

$\tan\theta=\dfrac{1}{2}$ のとき， $\tan2\theta=\dfrac{4}{3}$ になることから思いついたのでは？

$\tan\theta=\dfrac{n}{m}$ のとき， $\tan2\theta=\dfrac{2mn}{m^2-n^2}$ になるので容易に一般化できる．

Also easy to find its incentre with this disposition! pic.twitter.com/b1gMdQltvZ
— Nèstor Abad (@nabadvin) 2021年2月20日

については，
$\vec{a}=(m,n)$ （ $m\gt n$ ）， $\vec{b}=(n,m)$ ， $\vec{c}=(-n,m)$ とおくと， $||\vec{a}||=||\vec{b}||=||\vec{c}||$ かつ $\vec{a}\perp\vec{c}$ であり，
$2mn\vec{a}+(m^2-n^2)\vec{c}=(m^2+n^2)\vec{b}$
が成立するので，3辺の比が
$2mn:(m^2-n^2):(m^2+n^2)$
の直角三角形ができる．この三角形の内接円の半径は
$\dfrac{2mn+(m^2-n^2)-(m^2+n^2)}{2}||\vec{a}||=n(m-n)||\vec{a}||$
（直角三角形なので，直角から円に引いた接線の長さが内接円の半径）
となるので， $m=2,n=1$ のときに限り内接円の半径が $||\vec{a}||$ と1つのタイルの対角線そのものになる．

一般には内接円の半径はタイルの対角線 $n(m-n)$ 個分になり，内心の位置ベクトルは
であることに注意すると，内心の位置ベクトルは
$2mn\vec{a}+n(m-n)(\vec{c}-\vec{a})$ $n(m+n)\vec{a}+n(m-n)\vec{c}$
と， $\vec{a},\vec{c}$ の整数係数の線形和で書けるので $m\times n$ のタイルを並べることによって求めることができることがわかる

もちろん， $y=x$ と， $(m^2+n^2)\vec{b}$ から $x$ 軸に下した垂線の足との交点だからその座標は $(n(m^2+n^2)，n(m^2+n^2))$ であることが直ちにわかり，その位置ベクトルは
$\dfrac{n(m^2+n^2)}{m+n}(\vec{a}+\vec{b})$
となることがわかる．残念ながらこの係数は $m$ と $n$ が互いに素のときは整数にはならない．