外接円と内接円 - 球面倶楽部零八式 mark II

twitter で見たので、引用しようと思ったらもう見えなくなってしまった。twitter の仕様は良くわからん。

三角形の3辺の長さを $a,b,c$ とし、内接円、外接円の半径をそれぞれ $r, R$ とするとき
$4r(r+4R)=2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2$
が成立するという式をみたので、後で引用しようと思ったのだが困った。

三角形の面積を $S$ とすると、 $a+b+c=2s$ を用いて
$S=\dfrac{abc}{4R}=sr=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ を使えば何とかなりそうだ。

$rR=\dfrac{abc}{4s}$ を経由して、
$4r(r+4R)$ $=4r^2+16rR=\dfrac{4S^2}{s^2}+\dfrac{4abc}{s}$ $=4\cdot \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)+abc}{s}$ $=4\{s^2-(a+b+c)s+ab+bc+ca\}$ $=(a+b+c)^2-2(a+b+c)^2+4(ab+bc+ca)$ $=4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2$ $=2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2$