数セミのエレガントな解法を求むでポンスレの定理の証明が出題されていて、そのコピーが発掘された。いつのかはメモしてなかったけど結構古そうだ。
そこでの証明には、
spherical-harmonics.hatenablog.com
で紹介した内接円に関する反転を利用した証明もあったが、三角形の一つの頂点を動かしたときの残りの頂点の動くスピードに着目するものがあって、極限を考えると、頂点から引いた接線の長さに比例することを利用するものだった。1つの頂点から内接円に引いた接線の長さは等しいので、その比が次々に消えていき、最終的には比の値が1になるので、出発点の動くスピードと到着点の動くスピードが一致するため、閉じたまま動くことになるというものだ。確かにこれはエレガントで、三角形に限らず、2円に対する多角形の場合のポンスレの定理の証明にもなっている。
