Conway Circle

数学

Conway Circle は Twitter で知った。

この、Conway は Life game の John Conway でいいんだよね。
Tanya Khovanova's Math Blog » Blog Archive » Conway’s Circle

数学的業績は Wikipedia の John Horton Conway で調べてもらうとして、モーリーの定理の証明
J.Conway's proof
がすばらしい。是非読んで欲しい。

John Horton Conway は 2020.04.11 に COVID-19 により亡くなられました。ご冥福をお祈りします。

mathworld.wolfram.com

Conway Circle の中心は、もとの三角形の内心
(wolfram には結果だけ書いてあるので証明しておく)。

この6点が内心を中心とする円周上にあることの証明は簡単
\rm \triangle ABC において、 \rm BC= a， \rm CA= b， \rm AB= c とおき、
\rm \triangle ABC の内心を \rm I とおき、内接円の半径を r とおく。
\rm \triangle ABC の内接円と \rm BC の接点を \rm D とする。
\rm BC の \rm B 側の延長に \rm AC の長さをとった点を \rm B_A とする。
\rm BC の \rm C 側の延長に \rm AB の長さをとった点を \rm C_A とする。

\rm BD=\dfrac{c+a-b}{2} により、\rm DB_A=\dfrac{a+b+c}{2} である。
\rm CD=\dfrac{a+b-c}{2} により、\rm DC_A=\dfrac{a+b+c}{2} である。

s=\dfrac{a+b+c}{2} とおくと \rm DB_A=DC_A =s により \rm IB_A=IC_A=\sqrt{s^2+r^2} が成立する。
この式は、a,b,c について対称だから、同様にして、残りの4点と \rm I との距離も \sqrt{s^2+r^2} となり、
\rm I から6点までの距離は等しい。

なお、3線分の長さが、三角形の3辺の和であることと、3本の線分を回転させると重なるイメージから、3本の線分をある点中心の回転によって重ねる動作を考えると、その回転の中心は、3本の線分からの距離が等しくなる点で、内心（今回は傍心は不適）となることはすぐに予想ができる。あとは、内心から6点までの距離が等しいことを示せば良く、そのためには、内接円との接点が線分の中点となることを示せば良いことがわかる。



おまけ
ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS