二等辺三角形と半角公式 - 球面倶楽部零八式 mark II

頂角 $2\theta$ （ $\theta$ は鋭角）で一辺が1の2等辺三角形の底辺の長さは、余弦定理だと $\sqrt{2-2\cos2\theta}$ だが、頂角の頂点から垂線を下してみると、 $2\sin\theta$ となるので、
$\theta$ が鋭角のとき、 $\sqrt{2-2\cos2\theta}=2\sin\theta$ 、つまり $\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$
が成立する。ちなみに面積比較だと
$\dfrac{1}{2}\sin 2\theta = \dfrac{1}{2}\cdot 2\sin\theta \cdot \cos\theta$ から $\sin 2\theta =2\sin\theta\cos\theta$
が成立する。