備忘録：モーリーの定理のコンヌによる証明(その2)

備忘録：モーリーの定理のコンヌによる証明(その1) - 球面倶楽部零八式 mark II

のつづき．

$\rm ABC$ は反時計周りにとり， $\rm BC$ に近い頂点を $\rm P$ ， $\rm CA$ に近い頂点を $\rm Q$ ， $\rm AB$ に近い頂点を $\rm R$ とする．

$g_1$ を点 $\rm A$ 中心 $\dfrac{2\angle A}{3}$ 回転， $g_2$ を点 $\rm B$ 中心 $\dfrac{2\angle B}{3}$ 回転， $g_3$ を点 $\rm C$ 中心 $\dfrac{2\angle C}{3}$ 回転とすると， $g_1^3$ は点 $\rm A$ 中心 $2\angle A$ 回転， $g_2^3$ は点 $\rm B$ 中心 $2\angle B$ 回転， $g_3^3$ は点 $\rm C$ 中心 $2\angle C$ 回転だから， $g_1^3$ は $\rm AB$ に折り返して後に $\rm CA$ に関して折り返すアフィン変換， $g_2^3$ は $\rm CA$ に折り返して後に $\rm BC$ に関して折り返すアフィン変換， $g_3^3$ は $\rm BC$ に折り返して後に $\rm AB$ に関して折り返すアフィン変換となる．

ここで折り返しは対合だから， $g_1^3g_2^3g_3^3$ は恒等変換となり，コンヌの定理の条件をみたす．

$\rm R$ を $\rm AB$ について折り返すのと、 $\rm B$ 中心に $\dfrac{2\angle B}{3}$ 回転するのは同じで，さらに $\rm AB$ について折り返すのと、 $\rm A$ 中心に $\dfrac{2\angle A}{3}$ 回転するのは同じなので， $g_1g_2$ の不動点は $R(\alpha)$ となる．

同様に $g_2g_3$ の不動点は $P(\beta)$ ， $g_3g_1$ の不動点は $Q(\gamma)$ である．

また， $g_1g_2g_3$ は 120度回転と平行移動の合成だから $j=e^{2\pi i/3}$ となるので，コンヌの定理から
$\alpha+e^{2\pi i/3} \beta +e^{4\pi i/3} \gamma =0$
が成立するが，これは $\rm P，Q，R$ が正三角形をなす条件であるから， $\triangle\rm PQR$ は正三角形となる．