フェルマー点から三角形の頂点までの距離

(1) 最大角が $120^{\circ}$ 以上のとき、フェルマー点は最大角の頂点だから、最大角の頂点から3頂点までの距離となる。

(2) 最大角が $120^{\circ}$ 未満のとき、フェルマー点から頂点までの距離を $x,y,z$ とおくき、3角形の3辺の長さを $a,\,b,\,c$ とおくと、フェルマー点と3頂点を結ぶ線分は $120^{\circ}$ をなすので、余弦定理から、

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という連立方程式を解けば良いので、
$x=\dfrac{s_1^2-s_2-a^2}{s_1}$ $=\dfrac{3(b^2+c^2-a^2)+4\sqrt{3} S}{3\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3} S}}$
$y=\dfrac{s_1^2-s_2-b^2}{s_1}$ $=\dfrac{3(c^2+a^2-b^2)+4\sqrt{3} S}{3\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3} S}}$
$z=\dfrac{s_1^2-s_2-c^2}{s_1}$ $=\dfrac{3(a^2+b^2-c^2)+4\sqrt{3} S}{3\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3} S}}$
となる。

ここで現れる $S=\dfrac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}$ は3角形の面積をヘロンの公式で表したものである。
このことに気付けば、フェルマー点を $\rm P$ とし、3頂点を $\rm A,B,C$ とおくと
$\rm \triangle ABC$ $=\rm \triangle PAB$ $+\rm \triangle PBC$ $+\rm \triangle PCA$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{4}(xy+yz+zx)$
であることから、
$xy+yz+zx=\dfrac{4}{\sqrt{3}} S$
であることが導かれる。