複素平面上の3点のなす三角形が鋭角三角形となる条件

複素平面上の3点 ${\rm A}(\alpha)，{\rm B}(\beta)，{\rm C}(\gamma)$ のなす三角形について

頂点 $\rm A$ が鋭角となる条件は

(i) $\Bigl|\alpha-\dfrac{\beta+\gamma}{2}\Bigr| \gt \Bigl|\dfrac{\gamma-\beta}{2}\Bigr|$ または $|(\alpha-\beta)+(\alpha-\gamma)| \gt |\gamma-\beta|$
（ $\rm A$ は $\rm BC$ を直径とする円の外側、または平行四辺形において，鋭角の頂点を結ぶ対角線の方が長い）

(ii) $\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\Bigr)\gt 0$ または $\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{\beta-\alpha}{\gamma-\alpha}\Bigr)\gt 0$

(iii) $\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{\beta-\gamma}{\beta-\alpha}\Bigr)\lt 1$ または $\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\Bigr)\lt 1$

となる．

この組み合わせとして

頂点 $\rm A$ が鋭角となる条件は(iii) $\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\Bigr)\lt 1$

頂点 $\rm B$ が鋭角となる条件は(ii) $\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\Bigr)\gt 0$

頂点 $\rm C$ が鋭角となる条件は(i) $\Bigl|\gamma-\dfrac{\alpha+\beta}{2}\Bigr| \gt \Bigl|\dfrac{\beta-\alpha}{2}\Bigr|$

を採用すると，複素平面上の3点 $\alpha,\beta,\gamma$ のなす三角形が鋭角三角形となる必要十分条件として

$0\lt \mbox{Re}\Bigl(\dfrac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\Bigr)\lt 1$ かつ $\Bigl|\gamma-\dfrac{\alpha+\beta}{2}\Bigr| \gt \Bigl|\dfrac{\beta-\alpha}{2}\Bigr|$