射影幾何によるパスカルの定理の証明 - 球面倶楽部零八式 mark II

二次曲線上に異なる6点 ${\rm A}_i$ （ $i=1,2,3,4,5,6$ ）に対して，直線 ${\rm A}_i{\rm A}_{i+1}$ と ${\rm A}_{i+3}{\rm A}_{i+4}$ （ $i=1,2,3$ ）の交点を ${\rm P}_i$ とおく．但し添字は3を法として考える．このとき3点 ${\rm P}_1$ ， ${\rm P}_2$ ， ${\rm P}_3$ は同一直線上にある

射影幾何によるパスカルの定理の証明（１） - 球面倶楽部零八式 mark II
も参照のこと

とある資料では， ${\rm A}_{1}{\rm A}_{2}$ ， ${\rm A}_{3}{\rm A}_{4}$ ， ${\rm A}_{5}{\rm A}_{6}$ を $x=0$ ， $y=0$ ， $z=0$ とおいているが，3直線が共点のときは交点の座標が $(0,0,0)$ となってしまうので，3直線が共点のときは別に証明しなければならない．対称性が高くて証明は綺麗なのだけど．

もちろん，3直線が共点のときは極限を考えれば成り立つのだが．

とりあえず別の座標をとってみる．

${\rm A}_1(1,0,0)$ ， ${\rm A}_2(0,1,0)$ ， ${\rm A}_4(0,0,1)$ ， ${\rm A}_5(1,1,1)$ とおく．このとき， $x=0$ ， $y=0$ ， $z=0$ は直線 ${\rm A}_2{\rm A}_4$ ，直線 ${\rm A}_1{\rm A}_4$ ，直線 ${\rm A}_1{\rm A}_2$ だから， ${\rm A}_5，{\rm A}_6$ の座標の成分に0はない．

よって ${\rm A}_3\Bigl(\dfrac{1}{p},\dfrac{1}{q},1\Bigr)$ ， ${\rm A}_6\Bigl(\dfrac{1}{s},\dfrac{1}{t},1\Bigr)$ とおける．

2次曲線が ${\rm A}_1，{\rm A}_2，{\rm A}_4$ を通ることから，その方程式を　 $axy+byz+czx=0$ とおくことができ，それが ${\rm A}_3，{\rm A}_6$ を通るので，

${\rm A}_1$ ， ${\rm A}_2$ ， ${\rm A}_3$ ， ${\rm A}_4$ ， ${\rm A}_6$ の5点を通る
2次曲線の式は
$C=(pt-qs)xy+(q-t)yz+(s-p)zx$
となる．

この2次曲線が ${\rm A}_5$ を通ることと $(p-1)(t-1)=(q-1)(s-1)$ は同値である．

直線 ${\rm A}_i{\rm A}_j$ の方程式を $l_{ij}=0$ とおくと，
$l_{12}=z=0$ ， $l_{23}=px-z=0$ ， $l_{34}=px-qy=0$ ， $l_{45}=x-y=0$ ， $l_{56}=(t-1)sx-(s-1)ty+(s-t)z=0$ ， $l_{61}=ty-z=0$
とかける．

${\rm P}_1$ は $l_{12}$ と $l_{45}$ の交点だから ${\rm P}_1(1,1,0)$ となる．
${\rm P}_2$ は $l_{23}$ と $l_{56}$ の交点だから ${\rm P}_2((s-1)t,s(t-1)+p(s-t),p(s-1)t)$ となる．
${\rm P}_3$ は $l_{34}$ と $l_{61}$ の交点だから ${\rm P}_3(q,p,pt)$ となる．

直線 ${\rm P}_1{\rm P}_3$ は $ptx-pty+(p-q)z=0$ となる．

この左辺に ${\rm P}_2$ を代入した式を $pt\neq 0$ で割ると
$(s-1)t-\{s(t-1)+p(s-t)\}+(p-q)(s-1)$ $=(p-1)(t-1)-(q-1)(s-1)$
となるので，これが 0 となる必要十分条件は、 $(p-1)(t-1)=(q-1)(s-1)$ が成立することである．

つまり， ${\rm P}_2$ は直線 ${\rm P}_1{\rm P}_3$ 上にある必要十分条件は， ${\rm A}_5$ が ${\rm A}_1$ ， ${\rm A}_2$ ， ${\rm A}_3$ ， ${\rm A}_4$ ， ${\rm A}_6$ の5点を通る2次曲線上にあることである．

なお、2次曲線が ${\rm A}_5$ を通る条件を用いると，2次曲線の式は
$C=(q-t)y(z-x)+(s-p)x(z-y)=0$
（但し $(p-1)(t-1)=(q-1)(s-1)$ ）
となる．実際，6点 ${\rm A}_i$ （ $i=1,2,3,4,5,6$ ）を代入すれば成立する．

Pappus の定理と同じ方針でやろうとすると、 $l_{12}l_{34}l_{56}=z(px-qy)\{(t-1)sx-(s-1)ty+(s-t)z\}=0$ ， $l_{23}l_{45}l_{61}=(px-z)(x-y)(ty-z)=0$ の線形和で $(p-1)(t-1)=(q-1)(s-1)$ を利用しながら $\{(pt-qs)xy+(q-t)yz+(s-p)zx\}\{ptx-pty+(p-q)z\}=0$
を作らないといけない．結果は
$\dfrac{s-p}{s-1}l_{12}l_{34}l_{56}+(pt-qs)l_{23}l_{45}l_{61}$ $=\{(pt-qs)xy+(q-t)yz+(s-p)zx\}\{ptx-pty+(p-q)z\}=0$
となるのだが，まぁ，普通は無理．