ベズーの定理によるパスカルの定理の証明

数学

二次曲線上の点{\rm A}_i(i=1,2,3)，{\rm B}_j(j=1,2,3)に対し、
直線 {\rm A}_i{\rm B}_j の方程式を l_{ij}=0 とする．

直線 {\rm A}_{i-i}{\rm B}_{i+1} と {\rm A}_{i+i}{\rm B}_{i-1} の交点を {\rm P}_i とおく．但し添字は3を法として考える．このとき3点 {\rm P}_1，{\rm P}_2，{\rm P}_3 は同一直線上にある．

Pappus と同じように座標をとる訳にはいかないので、良い座標を考えているが難しい。

とりあえず、ベズーの定理

m 次曲線と n 次曲線に共通因子がないとき，重複度を込めて丁度 mn 個の交点で交わる．

から導かれる

m 次曲線と n 次曲線が mn+1 個以上の点で交わっているとき，2つの曲線には共通因子がある．

を利用した有名な証明を書いておこう。

パスカルの定理の証明を集めた本としては、

射影幾何 (数学ワンポイント双書)

射影幾何 (数学ワンポイント双書)

が本当に良いけどベズーの定理を利用した証明があったか覚えていない。

［証明］
g=\lambda l_{12}l_{23}l_{31}-\mu l_{21}l_{32}l_{13}=0 という3次曲線は、ここで登場した9点を含む．

二次曲線上に新たな7点目を選び、これが g 上にあるような \lambda,\mu を選ぶ．

その g と二次曲線は、7つの共有点があるのでベズーの定理より共通因子をもつ．

7点は同一直線上になく二次曲線上にあるので、共通因子は二次曲線そのもの．

よって g を二次曲線で割った商である1次式を、点 {\rm P}_1，{\rm P}_2，{\rm P}_3 みたすので、この3点は同一直線上にある．

なお、この証明を一般化すると

共通因子のない 2つのn 次曲線の交点のうち mn 個を含む既約 m 次曲線が存在するとき，残りの n(n-m) 個を含む n-m 次曲線が存在する

ことがわかる．