球面倶楽部零八式 mark II

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ベズーの定理によるパスカルの定理の証明

数学

二次曲線上の点 ${\rm A}_i$ ( $i=1,2,3$ )， ${\rm B}_j$ ( $j=1,2,3$ )に対し、
直線 ${\rm A}_i{\rm B}_j$ の方程式を $l_{ij}=0$ とする．

直線 ${\rm A}_{i-i}{\rm B}_{i+1}$ と ${\rm A}_{i+i}{\rm B}_{i-1}$ の交点を ${\rm P}_i$ とおく．但し添字は3を法として考える．このとき3点 ${\rm P}_1$ ， ${\rm P}_2$ ， ${\rm P}_3$ は同一直線上にある．

Pappus と同じように座標をとる訳にはいかないので、良い座標を考えているが難しい。

とりあえず、ベズーの定理

$m$ 次曲線と $n$ 次曲線に共通因子がないとき，重複度を込めて丁度 $mn$ 個の交点で交わる．

から導かれる

$m$ 次曲線と $n$ 次曲線が $mn+1$ 個以上の点で交わっているとき，2つの曲線には共通因子がある．

を利用した有名な証明を書いておこう。

パスカルの定理の証明を集めた本としては、

射影幾何 (数学ワンポイント双書)

射影幾何 (数学ワンポイント双書)

作者:津田丈夫
メディア: 単行本

が本当に良いけどベズーの定理を利用した証明があったか覚えていない。

［証明］
$g=\lambda l_{12}l_{23}l_{31}-\mu l_{21}l_{32}l_{13}=0$ という3次曲線は、ここで登場した9点を含む．

二次曲線上に新たな7点目を選び、これが $g$ 上にあるような $\lambda,\mu$ を選ぶ．

その $g$ と二次曲線は、7つの共有点があるのでベズーの定理より共通因子をもつ．

7点は同一直線上になく二次曲線上にあるので、共通因子は二次曲線そのもの．

よって g を二次曲線で割った商である1次式を、点 ${\rm P}_1$ ， ${\rm P}_2$ ， ${\rm P}_3$ みたすので、この3点は同一直線上にある．

なお、この証明を一般化すると

共通因子のない 2つの $n$ 次曲線の交点のうち $mn$ 個を含む既約 $m$ 次曲線が存在するとき，残りの $n(n-m)$ 個を含む $n-m$ 次曲線が存在する

ことがわかる．