ちょっと計算してみた

数学

{\rm A}(1),{\rm B}(\alpha),{\rm C}(-1),{\rm P}(z) とおくと、 \mbox{arg}\dfrac{(z-\alpha)^2}{z^2-1} が実数であることから、
F(z)=2z\bar{z}(\bar{\alpha}z-\alpha\bar{z})
+(\alpha^2+1)\bar{z}^2-(\bar{\alpha}^2+1)z^2
+2(\alpha z-\bar{\alpha}\bar{z})-(\alpha^2-\bar{\alpha}^2)=0
が求める曲線の軌跡となる．

\triangle {\rm ABC} の外接円の方程式は
G(z)=(\alpha-\bar{\alpha})(z\bar{z}-1)+(1-\alpha\bar{\alpha})(z-\bar{z})=0
であり，
\triangle {\rm ABC} の \rm B を通る中線の方程式は
H(z)=\bar{\alpha}z-\alpha\bar{z}=0
である．

ここで、|z|が大きいときは、F(z) の主要項をみると、H(z)\sim 0 となるので曲線は\triangle {\rm ABC} の \rm B を通る中線に漸近する。

ちなみに、
F(z)=2G(z)H(z)+(\alpha+\bar{\alpha})\{H(z)+(z-\bar{z}-\alpha+\bar{\alpha})\}\{H(z)-(z-\bar{z}-\alpha+\bar{\alpha})\}
が成立し、\mbox{Re}(\alpha)=0(\rm BA=BC の二等辺三角形)のときは、
F(z)=2G(z)H(z)=0
となり、外接円と直線の和集合となる。