平方剰余の相互法則 - 球面倶楽部零八式 mark II

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の証明は正しくない。

14分30秒ぐらいから始まる

「同様に議論していくと、 $py$ を $q$ で割った余りを $r'$ とすると、 $r'$ が $\dfrac{q}{2}$ よりも大きいものの個数 $m$ は、 $y=\dfrac{q}{p}x-\dfrac{1}{2}$ と $y=\dfrac{q}{p}x$ との間の格子点の数と一致する。」

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はウソ。

su-hai.hatenablog.com

にあるように
$x=\dfrac{p}{q}y+\dfrac{1}{2}$ と $x=\dfrac{p}{q}y$
との間の格子点の数と一致する

というのが正しい。つまり $y=\dfrac{q}{p}x-\dfrac{1}{2}$ と $y=\dfrac{q}{p}x-\dfrac{q}{2p}$ の間の格子点の数を考えるのがポイントとなる。

この2直線が $\left(\dfrac{p+1}{4},\dfrac{q+1}{4}\right)$ に関して点対称にあることが最も重要なポイントなのだから、この間違いに気付けないのは致命傷。

もとの動画だと、 $y=\dfrac{q}{p}x+\dfrac{1}{2}$ と $y=\dfrac{q}{p}x-\dfrac{1}{2}$ が $\left(\dfrac{p+1}{4},\dfrac{q+1}{4}\right)$ に関して点対称であることを利用しているけど、この2直線は $\left(\dfrac{p+1}{4},\dfrac{q+1}{4}\right)$ に関して点対称ではないので証明が破綻している。 $p\neq q$ なら $\left(\dfrac{p+1}{4},\dfrac{q+1}{4}\right)$ が真ん中の線 $y=\dfrac{q}{p}x$ に乗らないことはすぐに気づくと思うのだが。