備忘録：無限回微分可能

数学

C^∞級関数f:ℝ→ℝで、x≦0では0、x≧1では1であるものを構成せよってパズルみあって良いですよね

f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}0 & (x\leqq 0) \\ \dfrac{1}{2e^{-2}}e^{-\frac{1}{x}} & (0\lt x\leqq \dfrac{1}{2}) \\1-\dfrac{1}{2e^{-2}}e^{-\frac{1}{1-x}} & (\dfrac{1}{2}\leqq x\lt 1) \\1 & (1\leqq x) \end{array}\right.

[補題] 任意の自然数 n に対して
\displaystyle\lim_{x\to 0+0} \dfrac{f(x)}{x^n}=\displaystyle\lim_{t\to +\infty} \dfrac{1}{2e^{-2}}\cdot \dfrac{t^n}{e^t}=0
を用いる．

f(x) は \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right) で点対称な図形である．x\neq 0,\dfrac{1}{2},1 を除いて明らかに無限回微分可能である．

0\lt x\lt \dfrac{1}{2} で帰納的に f^{(n)}(x)=\dfrac{(n-1次式以下)}{(2n次式)}f(x)(n=1,2,\ldots) とかけるので，補題より f^{(n)}(0+0)=0=f^{(n)}(0-0) となるので x=0 で無限回微分可能である．よって点対称性から x=1でも無限回微分可能である．

点対称性質から対称の中心である x=\dfrac{1}{2} における f^{(n)} の左方極限と右方極限が一致するので x=\dfrac{1}{2}でも無限回微分可能である．

以上から，f(x) は全実数で無限回微分可能である．■

f(x) が \mathbb{R} 上で C^{\infty} であることを証明せよ，は大学1年生には丁度良い問題だな．

(1) 補題

(2) 0\lt x\lt \dfrac{1}{2} で帰納的に f^{(n)}(x)=\dfrac{(n-1次式以下)}{(2n次式)}f(x) とかける

(3) 証明

ぐらいな感じで。