四面体の体積を求めるオイラーの公式

数学

6辺の長さがわかっているときの四面体の体積を求める公式．ヘロンの公式を3次元に拡張したもの．

四面体 {\rm O-ABC} において，{\rm OA}=a，{\rm OB}=b，{\rm OC}=c，{\rm AB}=z，{\rm BC}=x，{\rm CA}=y とする．ここで x，y，z は a，b，c それぞれの対辺となっていることに注意．

また，\angle{\rm AOB}=\gamma，\angle{\rm BOC}=\alpha，\angle{\rm COA}=\beta とする．

普通に V=\dfrac{1}{6}{\rm det}(\vec{\rm OA}，\vec{\rm OB}，\vec{\rm OC}) である．

転置行列を利用すると
V^2=\dfrac{1}{36}{\rm det}[(\vec{\rm OA}，\vec{\rm OB}，\vec{\rm OC})^{\top}(\vec{\rm OA}，\vec{\rm OB}，\vec{\rm OC})]
=\dfrac{1}{36}{\rm det} \begin{pmatrix} a^2 & ab\cos\gamma & ca\cos\beta \\ ab\cos\gamma & b^2 & bc\cos\alpha \\ ca\cos\beta & bc\cos\alpha & c^2 \\ \end{pmatrix}
となる．これを
V^2=\dfrac{a^2b^2c^2}{36}{\rm det} \begin{pmatrix} 1 & \cos\gamma & \cos\beta \\ \cos\gamma & 1 & \cos\alpha \\ \cos\beta & \cos\alpha & 1 \\ \end{pmatrix}
と変形して，
V=\dfrac{abc}{6}\sqrt{1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma}
とすることができる．この公式を使う大学入試が稀に出る．

それはさておき，余弦定理から
V^2=\dfrac{1}{288}{\rm det} \begin{pmatrix} 2a^2 & 2ab\cos\gamma & 2ca\cos\beta \\ 2ab\cos\gamma & 2b^2 & 2bc\cos\alpha \\ 2ca\cos\beta & 2bc\cos\alpha & 2c^2 \\ \end{pmatrix}
=\dfrac{1}{288}{\rm det} \begin{pmatrix} 2a^2 & a^2+b^2-z^2 & c^2+a^2-y^2 \\ a^2+b^2-z^2 & 2b^2 & b^2+c^2-x^2 \\ c^2+a^2-y^2 & b^2+c^2-x^2 & 2c^2 \\ \end{pmatrix}
と変形できる．これが6辺の長さがわかっているときの四面体の体積を求める公式である．

この公式はこのままが良く，展開してもうれしくない．

なお，4面体の4頂点の座標からなる Cayley-Menger 行列 X の行列式は
{\rm det} \begin{pmatrix} 2a^2 & a^2+b^2-z^2 & c^2+a^2-y^2 \\ a^2+b^2-z^2 & 2b^2 & b^2+c^2-x^2 \\ c^2+a^2-y^2 & b^2+c^2-x^2 & 2c^2 \\ \end{pmatrix}
に等しいことが知られている．