四面体の外接球の半径を6辺の長さで表す

外接超球面の半径（以前は体積と間違って書いていた）
外接超球面の半径 - 球面倶楽部零八式 mark II
と
四面体の体積を求めるオイラーの公式 - 球面倶楽部零八式 mark II
と
四面体に対するユークリッド距離行列の行列式 - 球面倶楽部零八式 mark II

を組合せると四面体の外接球の半径を6辺の長さで表現することができる．

四面体 ${\rm O-ABC}$ において， ${\rm OA}=a$ ， ${\rm OB}=b$ ， ${\rm OC}=c$ ， ${\rm AB}=z$ ， ${\rm BC}=x$ ， ${\rm CA}=y$ とする．ここで $x，y，z$ は $a，b，c$ それぞれの対辺となっていることに注意．

このとき，外接球の半径 $R$ は
$R=\sqrt{\dfrac{(ax+by+cz)(-ax+by+cz)(ax-by+cz)(ax+by-cz)}{2{\rm det} \begin{pmatrix} 2a^2 & a^2+b^2-z^2 & c^2+a^2-y^2 \\ a^2+b^2-z^2 & 2b^2 & b^2+c^2-x^2 \\ c^2+a^2-y^2 & b^2+c^2-x^2 & 2c^2 \\ \end{pmatrix}}}$
となる．