四面体に対するユークリッド距離行列の行列式

数学

四面体の辺の長さをa,b,c,x,y,zとするとユークリッド距離行列は
\begin{pmatrix} 0 & a^2 & b^2 & z^2 \\ a^2 & 0 & c^2 & y^2 \\ b^2 & c^2 & 0 & x^2 \\ z^2 & y^2 & x^2 & 0 \end{pmatrix}
となる．

この行列式
{\rm det}\begin{pmatrix} 0 & a^2 & b^2 & z^2 \\ a^2 & 0 & c^2 & y^2 \\ b^2 & c^2 & 0 & x^2 \\ z^2 & y^2 & x^2 & 0 \end{pmatrix}
は， A=\dfrac{ax}{xyz}，B=\dfrac{by}{xyz}，C=\dfrac{cz}{xyz} とおくと，
(xyz)^4{\rm det}\begin{pmatrix} 0 & A^2 & B^2 & 1 \\ A^2 & 0 & C^2 & 1 \\ B^2 & C^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
となり，三辺の長さがA，B，C の三角形の Cayley-Menger 行列の行列式
{\rm det}\begin{pmatrix} 0 & A^2 & B^2 & 1 \\ A^2 & 0 & C^2 & 1 \\ B^2 & C^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
が登場してくる．

そして，これは三角形の面積を S とおくと，-16S^2 に等しく，ヘロンの公式と関係がある．

ヘロンの公式と比べると，
{\rm det}\begin{pmatrix} 0 & A^2 & B^2 & 1 \\ A^2 & 0 & C^2 & 1 \\ B^2 & C^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} =-(A+B+C)(-A+B+C)(A-B+C)(A+B-C)
と展開できることがわかる．普通に展開してA^4+B^4+C^4-2A^2B^2-2B^2C^2-2C^2A^2 を因数分解しても良い．

これを利用すると，
{\rm det}\begin{pmatrix} 0 & a^2 & b^2 & z^2 \\ a^2 & 0 & c^2 & y^2 \\ b^2 & c^2 & 0 & x^2 \\ z^2 & y^2 & x^2 & 0 \end{pmatrix}=-(xyz)^4(A+B+C)(-A+B+C)(A-B+C)(A+B-C)=-(ax+by+cz)(-ax+by+cz)(ax-by+cz)(ax+by-cz)
であることがわかる．