球台と球欠（球帽）の体積（その2） - 球面倶楽部零八式 mark II

球台と球帽（球冠）の体積 - 球面倶楽部零八式 mark II
の続き

［球台と球帽（球冠）の体積］
下底面の半径が $r_1$ ，上底面の半径が $r_2$ ，高さが $h$ の球台の体積は
$V=\dfrac{\pi h}{6}(3r_1^2+3r_2^2+h^2)$
である．特に下底面の半径が $r$ ，高さが $h$ の球帽の体積は
$V=\dfrac{\pi h}{6}(3r^2+h^2)$
である．

について，

球帯の面積と、球冠の面積（球帽の側面積） - 球面倶楽部零八式 mark II

を利用して求める．

球欠の底面を底面とし，球の中心を頂点とする円錐と，もとの球欠をあわせてできる立体を球扇形という．高さ $h$ の球欠に対応する球扇形の体積は
$\dfrac{4}{3}\pi R^3\times \dfrac{h}{2R}=\dfrac{2}{3}\pi R^2 h$
であるから，球欠の体積は
$\dfrac{2}{3}\pi R^2h-\dfrac{\pi}{3}\{R^2-(R-h)^2\}(R-h)$ $=\dfrac{\pi h^2}{3}(3R-h)$
となる．球欠の底面の半径 $r$ について
$r^2=R^2-(R-h)^2=2Rh-h^2$ だから球欠の体積は
$\dfrac{\pi h}{6}(6Rh-2h^2)$ $=\dfrac{\pi h}{6}(3(r^2+h^2)-2h^2)$ $=\dfrac{\pi h}{6}(3r^2+h^2)$
となる．

球台の体積については，
球台と球帽（球冠）の体積 - 球面倶楽部零八式 mark II
と同様に，2つの球欠の体積と差として求めれば良い．