とある連立方程式 - 球面倶楽部零八式 mark II

連立方程式
$x^2+xy+y^2=c^2\cdots(1),$
$y^2+yz+z^2=a^2\cdots(2),$
$z^2+zx+x^2=b^2\cdots(3)$
（ $a,b,c\neq 0$ ）の $x,y,z \gt 0$ なる解を求める。

$s_1=x+y+z,\, s_2=xy+yz+zx$ とおく。また、 $p=a^2+b^2+c^2$ ， $q=2(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2)$ とおく。

$(1)+(2)+(3)$ により、 $p=2s_1^2-3s_2\cdots(4)$
$\{(1)-(2)\}^2+\{(2)-(3)\}^2+\{(3)-(1)\}^2$ により、 $q=2s_1^2(s_1^2-3s_2)\cdots(5)$

$t= s_1^2$ とおくと、 $(4),\,(5)$ により
$2t^2-2pt+q=0$
ここで、 $t-\dfrac{p}{2}=\dfrac{3}{2} s_2 \gt 0$ であるから、
$t=\dfrac{p+\sqrt{p^2-2q}}{2}$ となる。

よって、
$s_1=\dfrac{1}{2}\sqrt{2p+2\sqrt{p^2-2q}}$ ， $s_2=\dfrac{1}{3}\sqrt{p^2-2q}$
となる。

$(3)$ より
$a^2=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx-x(x+y+z)=s_1^2-s_2-xs_1$
だから、
$x=\dfrac{s_1^2-s_2-a^2}{s_1}$ $=\dfrac{3(b^2+c^2-a^2)+4\sqrt{3} S}{3\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3} S}}$
となる。ここで $S=\dfrac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}=\dfrac{1}{4\sqrt{3}}\sqrt{p^2-2q}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}s_2$
同様に考えると、連立方程式の解は
$x=\dfrac{s_1^2-s_2-a^2}{s_1}$ $=\dfrac{3(b^2+c^2-a^2)+4\sqrt{3} S}{3\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3} S}}$
$y=\dfrac{s_1^2-s_2-b^2}{s_1}$ $=\dfrac{3(c^2+a^2-b^2)+4\sqrt{3} S}{3\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3} S}}$
$z=\dfrac{s_1^2-s_2-c^2}{s_1}$ $=\dfrac{3(a^2+b^2-c^2)+4\sqrt{3} S}{3\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3} S}}$
となる。

なお、 $s_3=xyz$ ， $r=(abc)^2$ とおくと、 $(1)\times(2)\times(3)$ により、
$r=-s_1^3s_3+s_1^2s_2^2-s_2^3$
となる。これから、 $s_3$ を $p,\,q,\,r$ で表すことが可能であるが、これは面倒である。

ちなみに、この表現は、
$r=F(x,y,z)=(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)$
が $x,y,z$ の同次対称式だから、
$F(x,y,z)=As_1^6+Bs_1^4s_2+Cs_1^3s_3+Ds_1^2s_2^2+Es_1s_2s_3+Fs_2^3+Gs_3^2$
とおくことができる。

(a) $z=0$ とおくと、 $s_1=x+y,\, s_2=xy,\,s_3=0$ であり、
$F(x,y,0)=(x^2+xy+y^2)x^2y^2=s_1^2s_2^2-s_2^3$
であるから、 $A=B=0,\,D=1,\,F=-1$ となる。よって
$F(x,y,z)=Cs_1^3s_3+s_1^2s_2^2+Es_1s_2s_3-s_2^3+Gs_3^2$
となる。

(b) $x=y=1$ とおくと、 $s_1=z+2,\, s_2=2z+1,\, s_3=z$ であり、
$F(1,1,z)=3(z^2+z+1)^2$ $=C(z+2)^3z+(z+2)^2(2z+1)^2+Ez(z+2)(2z+1)-(2z+1)^3+Gz^2$
である。

$z=-2$ を代入して、 $F(1,1,-2)=27=27+4G$ により、 $G=0$ だから
$F(x,y,z)=Cs_1^3s_3+s_1^2s_2^2+Es_1s_2s_3-s_2^3$

$z=-\dfrac{1}{2}$ を代入して、 $F\left(1,1,-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{27}{16}=-\dfrac{27}{16}C$ により、 $C=-1$ だから
$F(x,y,z)=-s_1^3s_3+s_1^2s_2^2+Es_1s_2s_3-s_2^3$