Gauss-Legendre Quadrature

数学

2n-1 次の任意の多項式f(x)の区間 [-1,1] における定積分の値は、n 次の Legendre 多項式P_{n}(x) の零点 x_1,\ldots,x_n を用いて
\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) dx = \sum_{i=1}^n \dfrac{2(1-x_i^2)}{\{nP_{n-1}(x_i)\}^2} f(x_i) と書ける。


[証明]

2n-1 次の多項式f(x)をn 次の Legendre 多項式P_{n}(x) で割った商をQ(x)，余りをR(x) とすると、Q(x)，R(x) は n-1 次以下の多項式で
\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) dx =\int_{-1}^{1} \{P_n(x)Q(x)+R(x)\} dx=\int_{-1}^{1} R(x) dx
をみたす．

また、n 次方程式 P_n(x)=0 の解 x_1,\ldots,x_n は相異なる n 個の実数であり、f(x_i)=R(x_i) （i=1,\ldots,n）が成立する．

よって、Lagrange の補間公式から、
R(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{f(x_i)}{P_n'(x_k)}\cdot\dfrac{P_n(x)}{x-x_k}
となるので、
\displaystyle\int_{-1}^{1} R(x) dx =\displaystyle\sum_{i=1}^n \Bigl\{ \dfrac{1}{P_n'(x_i)}\int_{-1}^{1} \dfrac{P_n(x)}{x-x_i} dx\Bigr\} f(x_i)
となる．

よって重み
w_i=\displaystyle\dfrac{1}{P_n'(x_i)}\int_{-1}^{1} \dfrac{P_n(x)}{x-x_i} dx
を用いて 2n-1 次の任意の多項式f(x)の区間 [-1,1] における定積分の値は、n 次の Legendre 多項式P_{n}(x) の零点 x_1,\ldots,x_n を用いて
\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) dx = \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) と書けることがわかった．

そこで f(x)=\dfrac{P_n(x)P_n'(x)}{x-x_i}とおくと，
\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{P_n(x)P_n'(x)}{x-x_i} dx = \sum_{j=1}^n w_j \dfrac{P_n(x_j)P_n'(x_j)}{x_j-x_i}
と形式的に書けることになるが，右辺のシグマの中身はi\neq j のときは0であり，i=j のときは極限を考えて
\displaystyle\lim_{x\to x_i} \dfrac{P_n(x)P_n'(x_j)}{x-x_i}=\{P_n'(x_i)\}^2
となるので，
\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{P_n(x)P_n'(x)}{x-x_i} dx = w_i \{P_n'(x_i)\}^2
となる．

ここで
\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{P_n(x)P_n'(x)}{x-x_i} dx=\Bigl[ \dfrac{\{P_n(x)\}^2}{x-x_i}\Bigr]_{-1}^1-\displaystyle\int_{-1}^{1} P_n(x) \Bigl(\dfrac{P_n(x)}{x-x_i}\Bigr)' dx
となるが，\Bigl(\dfrac{P_n(x)}{x-x_i}\Bigr)' は n-2 次の多項式により後の積分は 0 となるので
\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{P_n(x)P_n'(x)}{x-x_i} dx
=\Bigl[ \dfrac{\{P_n(x)\}^2}{x-x_i}\Big]_{-1}^1 =\dfrac{1}{1-x_i}-\dfrac{1}{-1-x_i}=\dfrac{2}{1-x_i^2}
となる．

よって
w_i=\dfrac{2}{(1-x_i)^2\{P_n'(x)\}^2}
となる．

ここで，Legendre 多項式について
\dfrac{x^2-1}{n} P_n'(x)=xP_n(x)-P_{n-1}(x)
が成立するので
\dfrac{x_i^2-1}{n} P_n'(x_i)=-P_{n-1}(x_i)
つまり(x_i^2-1) P_n'(x_i)=nP_{n-1}(x_i) が成立するので，
w_i=\dfrac{2(1-x_i)^2}{\{nP_{n-1}(x)\}^2}

となり，証明された．