「相加平均≧相乗平均」の覚え書。

数学

a_{n+1}\geqq a_{i}(i=1,...n)とし、それらの相加平均を A_n、相乗平均を G_n とする。

A_{n+1}\geqq A_{n}、(n+1)\times A_{n+1}-n\times A_{n}=a_{n+1}、 G_{n}^{n}\times a_{n+1}=G_{n+1}^{n+1}であるから、

A_{n+1}^{n+1}=\{A_{n}+(A_{n+1}-A_{n})\}^{n+1}
\geqq A_{n}^{n+1}+(n+1)\times A_{n}^{n}\times (A_{n+1}-A_{n})
=A_{n}^{n}\times\{(n+1)\times A_{n+1}-n\times A_{n}\}
=A_{n}^{n}\times a_{n+1}
\geqq G_{n}^{n}\times a_{n+1}=G_{n+1}^{n+1}

が成立する。等号成立はA_{n+1}=A_{n}=G_{n} のときであり、 帰納的に考えると、 a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n+1} のときであることが わかる。