第2種完全楕円積分の思い出 - 球面倶楽部零八式 mark II

と書いておきながら、楕円関数を習ったことはない。ただ、高校生のときに解けなかった問題がある。

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $a\geq b\lt 0$ ）の全長を $L$ ，これが囲む図形の面積を $S$ とすれば $4\pi S\leq L^2$ が成り立つことを示せ。

である。今からすれば何で解けなかったのかわからないが、次のように解けば良い。

$L=\displaystyle 4 \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}d\theta =4 \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2-(a^2-b^2)\cos^2\theta}d\theta$
$=\displaystyle 4 \int_0^{\pi} \sqrt{a^2-(a^2-b^2)\sin^2\theta}d\theta$
$=\displaystyle 2\int_0^{\pi/2} \left(\sqrt{a^2-(a^2-b^2)\cos^2\theta}+\sqrt{a^2-(a^2-b^2)\sin^2\theta}\right)d\theta$
$\geq\displaystyle 4\int_0^{\pi/2} \sqrt[4]{a^2b^2+(a^2-b^2)^2\cos^2\theta\sin^2\theta}d\theta$ （相加平均と相乗平均の關係の不等式）
$\geq\displaystyle 4\int_0^{\pi/2} \sqrt{ab} d\theta$ （非負項の除去）
$= 2\pi \sqrt{ab}$ （定数関数の積分）
よって、 $L^2\geq 4\pi^2 ab= 4\pi S$ となる。