サインカーブの長さ(再論) - 球面倶楽部零八式 mark II

サインカーブの長さ - 球面倶楽部零八式 mark II
の問題点の整理

$y=p\sin x$ （ $p>0$ ）の $x=0$ から $x=\varphi$ までの長さは
$\displaystyle \int_0^{\varphi} \sqrt{1+p^2\cos^2 x}dx$
$\displaystyle = \sqrt{1+p^2}\int_0^{\varphi} \sqrt{1-\dfrac{p^2}{1+p^2}\sin^2 x}dx$
$\displaystyle =\sqrt{1+p^2}E\left(\dfrac{p}{\sqrt{1+p^2}},\varphi\right)$
となる。

一方、横長の楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の $(0,b)$ から $(a\sin\varphi,b\cos\varphi)$ までの長さは
$\displaystyle \int_0^{\varphi} \sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta$
$\displaystyle = a\int_0^{\varphi} \sqrt{1-\dfrac{a^2-b^2}{a^2}\sin^2 x}dx$
$\displaystyle =aE\left(\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a},\varphi\right)$
となる。

これらを比べて $p=\sqrt{a^2-1}$ ， $b=1$ とおけば、両者は一致する。つまり $y=\sqrt{a^2-1}\sin x$ （ $a>1$ ）の $x=0$ から $x=\varphi$ までの長さは横長の楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$ の $(0,1)$ から $(a\sin\varphi,\cos\varphi)$ までの長さと一致する。

$y=\sqrt{a^2-1}\sin x$ 上の点 $(\varphi,\sqrt{a^2-1}\sin\varphi)$ の接ベクトルは $(1,\sqrt{a^2-1}\cos\varphi)$ であり、楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$ 上の点 $(a\sin\varphi,\cos\varphi)$ の接ベクトルは $(a\cos\varphi,-\sin\varphi)$ である。もちろん、この2つのベクトルの長さは計算すれば等しく $\sqrt{1+(a^2-1)\cos^2\varphi}$ で等しい。同じ速度で動いていても、曲率、ハンドルの切り方によって描く曲線が違う。その切り方によって、楕円を描いたりサインカーブを描くという訳で、もちろん他の曲線を描く可能性もある。