極座標のラプラシアン(その3:その2は放置したままで)

数学

ここでは

多変数関数の微積分とベクトル解析 (理工学者が書いた数学の本)

多変数関数の微積分とベクトル解析 (理工学者が書いた数学の本)

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の pp.174-178 の内容を、3次元極座標の場合に沿って計算してみる。

\textbf{x}=(x,y,z)^{\top}=(r\sin\theta\cos\varphi,r\sin\theta\sin\varphi,r\cos\theta)^{\top}，\textbf{p}=(r,\theta,\varphi)^{\top} とする．
\dfrac{\partial\textbf{x}}{\partial\textbf{p}}=\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{pmatrix}
であるから，
\textbf{e}_{r}=\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi　\\ \sin\theta\sin\varphi \\ \cos\theta \end{pmatrix}=\dfrac{\partial\textbf{x}}{\partial r}，
\textbf{e}_{\theta}=\begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi \\ \cos\theta\sin\varphi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial\textbf{x}}{\partial \theta}，
\textbf{e}_{\varphi}=\begin{pmatrix} \sin\varphi \\ \cos\varphi \\ 0\end{pmatrix}=\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial\textbf{x}}{\partial \varphi}
とおくと，
\dfrac{\partial\textbf{x}}{\partial\textbf{p}}=\begin{pmatrix} \textbf{e}_{r} & \textbf{e}_{\theta} & \textbf{e}_{\varphi}\end{pmatrix}\mbox{diag}\{1,r,r\sin\theta\}
が成立する．ここで
\dfrac{\partial\textbf{p}}{\partial\textbf{x}} =\begin{pmatrix} \dfrac{\partial r}{\partial \textbf{x}} \\ \dfrac{\partial \theta}{\partial \textbf{x}} \\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial \textbf{x}}\end{pmatrix}
であるから，
\dfrac{\partial\textbf{x}}{\partial\textbf{p}}\dfrac{\partial\textbf{p}}{\partial\textbf{x}}=I
（Iは単位行列）となり，
\begin{pmatrix} \textbf{e}_{r} & \textbf{e}_{\theta} & \textbf{e}_{\varphi}\end{pmatrix}\mbox{diag}\{1,r,r\sin\theta\}\begin{pmatrix} \dfrac{\partial r}{\partial \textbf{x}} \\ \dfrac{\partial \theta}{\partial \textbf{x}} \\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial \textbf{x}}\end{pmatrix}=I
が成立する．ここで \begin{pmatrix} \textbf{e}_{r} & \textbf{e}_{\theta} & \textbf{e}_{\varphi}\end{pmatrix} は直交行列であるから，
\mbox{diag}\{1,r,r\sin\theta\}\begin{pmatrix} \dfrac{\partial r}{\partial \textbf{x}} \\ \dfrac{\partial \theta}{\partial \textbf{x}} \\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial \textbf{x}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \textbf{e}_{r}^{\top} \\ \textbf{e}_{\theta}^{\top} \\ \textbf{e}_{\varphi}^{\top} \end{pmatrix}
が成立する（これが直交曲線座標の良い性質）．よって
\dfrac{\partial \textbf{p}}{\partial \textbf{x}}=\mbox{diag}\left\{1,\dfrac{1}{r},\dfrac{1}{r\sin\theta}\right\}\begin{pmatrix} \textbf{e}_{r}^{\top} \\ \textbf{e}_{\theta}^{\top} \\ \textbf{e}_{\varphi}^{\top} \end{pmatrix}
が成立する．

これらから，
\mbox{grad}f=\dfrac{\partial f}{\partial \textbf{x}}=\dfrac{\partial f}{\partial \textbf{p}}\dfrac{\partial \textbf{p}}{\partial \textbf{x}}=\dfrac{\partial f}{\partial \textbf{p}}\mbox{diag}\left\{1,\dfrac{1}{r},\dfrac{1}{r\sin\theta}\right\}\begin{pmatrix} \textbf{e}_{r}^{\top} \\ \textbf{e}_{\theta}^{\top} \\ \textbf{e}_{\varphi}^{\top} \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial r} & \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial f}{\partial \theta} & \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial f}{\partial \varphi}\end{pmatrix}
が成立する．

これ以降は書き直したい所だが、とりあえず、終わらせておく。

次に \textbf{u}=u_r\textbf{e}_{r}+u_{\theta}\textbf{e}_{\theta}+u_{\varphi}\textbf{e}_{\varphi} に対して，線形性より
\mbox{div}\textbf{u}=\mbox{div}(u_r\textbf{e}_r)+\mbox{div}(u_\theta\textbf{e}_{\theta})+\mbox{div}(u_{\varphi}\textbf{e}_{\varphi})
が成立する．

ここで，
u_r\textbf{e}_r=u_r(\textbf{e}_{\theta}\times \textbf{e}_{\varphi})=u_r r^2\sin\theta \left(\dfrac{\partial\theta}{\partial\textbf{x}^{\top}}\times \dfrac{\partial\varphi}{\partial\textbf{x}^{\top}}\right)
であるから
\mbox{div}(u_r\textbf{e}_r)=\dfrac{\partial}{\partial\textbf{x}}(u_r\textbf{e}_r)=\left(\dfrac{\partial}{\partial\textbf{x}}(u_r r^2\sin\theta)\right)\left(\dfrac{\partial\theta}{\partial\textbf{x}^{\top}}\times \dfrac{\partial\varphi}{\partial\textbf{x}^{\top}}\right)
+u_r r^2\sin\theta \left\{\dfrac{\partial}{\partial\textbf{x}}\left(\dfrac{\partial\theta}{\partial\textbf{x}^{\top}}\times \dfrac{\partial\varphi}{\partial\textbf{x}^{\top}}\right)\right\}
となるが，
\dfrac{\partial}{\partial\textbf{x}}\left(\dfrac{\partial\theta}{\partial\textbf{x}^{\top}}\times \dfrac{\partial\varphi}{\partial\textbf{x}^{\top}}\right)
=\dfrac{\partial\varphi}{\partial\textbf{x}}\left(\dfrac{\partial}{\partial\textbf{x}^{\top}}\times \dfrac{\partial\theta}{\partial\textbf{x}^{\top}}\right)-\dfrac{\partial\theta}{\partial\textbf{x}}\left(\dfrac{\partial}{\partial\textbf{x}^{\top}}\times \dfrac{\partial\varphi}{\partial\textbf{x}^{\top}}\right)=0
により，
\mbox{div}(u_r\textbf{e}_r)=\dfrac{\partial (u_r r^2\sin\theta)}{\partial\textbf{x}}\left(\dfrac{\partial\theta}{\partial\textbf{x}^{\top}}\times \dfrac{\partial\varphi}{\partial\textbf{x}^{\top}}\right)
=\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial (u_r r^2\sin\theta)}{\partial\textbf{x}}\textbf{e}_r
=\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial (u_r r^2\sin\theta)}{\partial\textbf{p}}\dfrac{\partial\textbf{p}}{\partial\textbf{x}}\textbf{e}_r=\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial (u_r r^2\sin\theta)}{\partial\textbf{p}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial (u_r r^2)}{\partial r}
が成立する．同様にして
\mbox{div}(u_{\theta}\textbf{e}_{\theta})=\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial (u_{\theta}\sin\theta)}{\partial \theta}，
\mbox{div}(u_\varphi\textbf{e}_{\theta})=\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial (u_{\varphi})}{\partial \varphi}
が成立する．

よって
\mbox{div}\textbf{u}=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial (u_r r^2)}{\partial r}+\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial (u_{\theta}\sin\theta)}{\partial \theta}+\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial (u_{\varphi})}{\partial \varphi}
となる．

以上から，
\Delta f=\mbox{div}(\mbox{grad}f)=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial f}{\partial r}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial f}{\partial \theta}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2 f}{\partial\varphi^2}
となる．

「その2」の懸案であった、消えて欲しい項は、
\dfrac{\partial}{\partial\textbf{x}}\left(\dfrac{\partial\theta}{\partial\textbf{x}^{\top}}\times \dfrac{\partial\varphi}{\partial\textbf{x}^{\top}}\right)=0
と対応付く話のように思う。ここでは外積の性質を使っているので、それをうまく反映させることができれば、解決しそうである。