極座標のラプラシアン

数学

久しぶりに球面の話。

極座標のラプラシアンは一度は求めておけ、というぐらいなのだが、直接求めるより、円筒座標を経由した方が簡単に求まる。

これは、杉浦コンパクトにもあったと思うが、手元にはないので後で調べよう。

最近読んだ本だと、

微分積分学講義

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のp.138-139 にも載っている。一般的な3次元直交曲線座標については、

ベクトル解析 (数学選書)

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の、p.244 にあるが、grad,rot,div の一般形は述べてあっても、何故かラプラシアンは例題で円筒(円柱)座標と3次元極座標のみで、直交曲線座標の一般形は述べてない。まぁ、grad(div f) ぐらい岩堀先生には自明だから省略しただけなのだろうけど。

多変数関数の微積分とベクトル解析 (理工学者が書いた数学の本)

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p.174-178 には一般の3次元直交曲線座標について grad,rot,div だけでなくラプラシアンの一般形の述べてある。

直交曲線座標\textbf{p}については、デカルト座標\textbf{x}からのヤコビ行列が列直交行列、つまり直交行列と対角行列の積で表現できることから、
\nabla_{\textbf{x}} p_i=\left(\dfrac{\partial p_i}{\partial x},\dfrac{\partial p_i}{\partial y},\dfrac{\partial p_i}{\partial z}\right) と \left(\dfrac{\partial \textbf{x}}{\partial p_i}\right)^{\top} が平行になることが、諸処の量が簡単になる理由である。

一応、3次元極座標のラプラシアンを円筒座標を経由する方法については、2次元極座標のラプラシアンを既知とすると，2次元の座標変換を2回の経由することになり，次のようになる．

円筒座標系 x=\rho\cos\varphi,y=\rho\sin\varphi,z=z のラプラシアンは
\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial \rho^2}+\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial\rho}+\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{\partial^2}{\partial\varphi^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}
である（2次元極座標に \dfrac{\partial^2}{\partial z^2} を加えただけ ）．これを
h=r\cos\theta,\rho=r\sin\theta,\varphi=\varphi
によって変換すると，z,\rho を2次元極座標に変換するので、
\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial \rho^2}=\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2}{\partial\theta^2}
が成立する．あとは \rho が r,\theta の関数であることに注意して
\dfrac{\partial}{\partial\rho}=\dfrac{\partial r}{\partial\rho}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\partial \theta}{\partial\rho}\dfrac{\partial}{\partial \theta}
となるが，
\dfrac{\partial (h,\rho)}{\partial (r,\theta)}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}
により
\dfrac{\partial (r,\theta)}{\partial (h,\rho)}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\dfrac{\sin\theta}{r} & \dfrac{\cos\theta}{r}\end{pmatrix}
であるから，\dfrac{\partial r}{\partial\rho}=\sin\theta，\dfrac{\partial\theta}{\partial\rho}=\dfrac{\cos\theta}{r} となり，
\dfrac{\partial}{\partial\rho}=\sin\theta\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\cos\theta}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta}
となる．

以上から，
\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\dfrac{1}{r\sin\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\cos\theta}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
=\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}+\dfrac{2}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\dfrac{1}{r^2\tan\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}+\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
と求まる。

なお、

irobutsu.a.la9.jp

にある、ポアッソン方程式が出る作用を考える方法は面白い。

2023.12.22追記
yyhateburo.hatenablog.com