極座標のラプラシアン - 球面倶楽部 零八式 mark II
の続きなので、その2 にしている。
次のアプローチを考えてみたが、まだ途中。
もちろんベクトル解析を使えばすぐに言えることだけど、なるべく原始的にどこまで求まるか考えたい。
で表されるとき,
から,ヤコビ行列を用いて
とかける.よって
とかける.よって
となり,
が成立する.ここで積の微分法を使うと,
及び
を用いて
のように表すことができる.
よって
が一般に成立する。
例えば2次元極座標のとき,後者は
となり,前者 からいわゆるおつりである が得られる.
ここで, は対称行列のはずなので,
のように変形したときに何か良いことがあるはずである。ここを簡単にするために直交曲線座標を考えると,
(は直交行列,は対角行列)
と分解できるので,より簡単な式になると考えられる。
このとき,
であるから,
となるので,行列
を定めると,
が成立するので,その第 成分は
となる.合ってそうでいて、良くわからないが、3次元極座標の場合,巡回行列 ()を用いて
のように変形できることから,
,
と計算できるので,
から (の項),
から
(の項),
から
(の項)
となっており,おつりがきちんと求まっているので多分大丈夫。
ちなみに、
()の分解(は座標の順番を入れ換える行列)こそが,間に円筒座標を挟むことに相当している。横縦を極座標に変換し丸くして,横高さを極座標に変換して丸くしたら、3次元極座標になるというイメージになっている。[tex\theta] が2箇所に散らばっている状況を、 の導入と分解により,座標パラメータが各々1箇所しか登場しないため計算が簡単になるのである(もちろんそれぞれが直交曲線座標だから、回転×対角と計算し易い形に分解されていることもある)。
それはさておき,結局、
まで簡略化できた。ここで, が交代行列になる( を微分すればわかる)ことを利用すると、もう少し変形ができそうだ。とりあえず
と変形してみる。これを
のようにすると元に戻る感じがするので違う気がする。
後で考えたいこと
(1) ,つまり
となるかどうか。それほど難しくなさそうなので、時間ができたら考える。
(2) のときに最終的に
が成立するはずなので、ここまで到達する。
(つづく、いつになるかは知らないが)。