球面倶楽部零八式 mark II

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列空間への正射影(答)

仕事

行列 $A$ の直交補空間を $B$ とすると、 $A{\bf x}\mapsto A{\bf x}$ かつ $B{\bf y}\mapsto {\bf 0}$ となることが必要十分。

内積によって射影成分が得られることに着目すると、 $A^T$ との積をまず考えるのは自然であり、このときまず $A^T(B{\bf x})=0$ が満たされる。そして $A^T(A{\bf x})$ を $A{\bf x}$ に戻せば良い。

ここで $(A^T A)^{-1}(A^T A){\bf x}={\bf x}$ に注意すると $A(A^T A)^{-1}A^T \{A{\bf x}\}=A{\bf x}$ となる。もちろん $A(A^T A)^{-1}A^T \{B{\bf y}\}={\bf 0}$ も満たされるので、所望の線形変換の表現行列は $A(A^TA)^{-1}A^T$ となる。

このような気持で行列 $A(A^TA)^{-1}A^T$ をみることができれば、の線型代数の力はワンランクアップ。

各列が正規直交行列 $U$ なら各列への正射影ベクトルの和 $UU^T$ が求める答っていうのは常識なので、
$A$ をQR分解して $A=UR$ とすると（線型結合の係数は後にくるんだよ諸君）、

$UU^T=AR^{-1}R^{-T}A^T=A(R^TR)^{-1}A=A(A^TA)^{-1}A^T$

（ここで $U^TU=I$ ）となる、ということもできるようにしておきたい。