エピポーラ幾何学で、基本行列が反対称行列と回転行列の積(本当はは [T]のように大括弧で括りたいのだが、はてなのTeX記法では難しそうだ)
に書けることを示した後、その特異値がと1つが0で残り2つが等しくなることを証明するのに、つい面倒で成分計算を用いてしまった。
と書いていたが、DOSEIさんにやり方を教えてもらったので、書き直しました。
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エピポーラ幾何学で、基本行列が反対称行列と回転行列の積に書けることを示した後、その特異値がと1つが0で残り2つが等しくなることを証明するのに、つい面倒で成分計算を用いてしまった。
交代行列に対してとなるので、これを成分計算すると(は向きの単位ベクトル)と変形できる。ここではをみたす、つまりの固有値0に対応する単位固有ベクトルとなっている。ここではを法線ベクトルとする平面への正射影となるからこの部分の固有値は0,1,1となる。よっての固有値はとなり、の特異値はとなる、という具合に。
別の考え方としてを交代行列とするとは3次元回転行列で回転量は。よってその固有値はとなる。よっての固有値はとなる。このことからの固有値はとなるという説明はマニアックすぎるか。
特異値分解が保証するものは、互いに直交するベクトルに移る正規直交基底の存在であり、3次元交代行列が外積を導くことを考える。
交代行列で表される線形変換は、
をみたすので、その固有値0に対応する単位固有ベクトルをとし、を含む右手系正規直交基底をとするとが成立する。よってつまりが成立する。これはまさにの特異値分解による表現だから、の特異値はとなる。
この説明は結構いけてる?