3次行列の指数関数 exp A

数学

(1) 3次行列 A の固有値が \alpha,\beta,\gamma のときの \exp A は，Lagrange の補間公式から
\exp A = \dfrac{e^{\alpha}}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)}(A-\beta I)(A-\gamma I)+\dfrac{e^{\beta}}{(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)}(A-\alpha I)(A-\gamma I)+\dfrac{e^{\gamma}}{(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)}(A-\alpha I)(A-\beta I)
となり，
\exp (tA) = \dfrac{e^{\alpha t}}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)}(A-\beta I)(A-\gamma I)+\dfrac{e^{\beta t}}{(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)}(A-\alpha I)(A-\gamma I)+\dfrac{e^{\gamma t}}{(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)}(A-\alpha I)(A-\beta I)
となる。

(2) 3次行列 A の固有値が \alpha,\alpha, \beta のときの \exp A は，y=e^x の x=\alpha における接線が e^{\alpha}(x-\alpha)+e^{\alpha} であることから
\exp x\sim_{(x-\alpha)^2(x-\beta)} a(x-\alpha)^2+e^{\alpha}(x-\alpha)+e^{\alpha}
とおくことができ，x=\beta とおくと
e^{\beta} = a(\beta-\alpha)^2+e^{\alpha}(\beta-\alpha)+e^{\alpha}
となることから
a=\dfrac{e^{\beta}-e^{\alpha}(\beta-\alpha)-e^{\alpha}}{(\beta-\alpha)^2}
となり
\exp x\sim_{(x-\alpha)^2(x-\beta)} \dfrac{e^{\beta}-e^{\alpha}(\beta-\alpha)-e^{\alpha}}{(\beta-\alpha)^2}(x-\alpha)^2+e^{\alpha}(x-\alpha)+e^{\alpha}
となる。よって
\exp A=\dfrac{e^{\beta}-e^{\alpha}(\beta-\alpha)-e^{\alpha}}{(\beta-\alpha)^2}(A-\alpha I)^2+e^{\alpha}(A-\alpha I)+e^{\alpha}I
となり，
\exp (tA)=\dfrac{e^{\beta t}-te^{\alpha t}(\beta-\alpha)-e^{\alpha t}}{(\beta-\alpha)^2}(A-\alpha I)^2+t e^{\alpha t}(A-\alpha I)+e^{\alpha t}I
となる。

(3) 3次行列 A の固有値が \alpha,\alpha,\alpha のときの \exp A は、Taylor 展開を利用すると
\exp A=\dfrac{e^{\alpha}}{2}(A-\alpha I)^2+e^{\alpha}(A-\alpha I)+e^{\alpha} I
となり，
\exp(tA)=\dfrac{t^2e^{\alpha t}}{2}(A-\alpha I)^2+t e^{\alpha t}(A-\alpha I)+e^{\alpha t} I
となる。

(4) 3次実行列 A の固有値が \alpha,p+qi,p-qi のときの \exp A は、(1)から頑張って計算すると
\exp A = \dfrac{e^{\alpha}}{(\alpha-p)^2+q^2}\{(A-pI)^2+q^2I\}+\dfrac{e^{p}\{(p-\alpha)\sin q-q\cos q\}}{\{(p-\alpha)^2+q^2\}q}(A-\alpha I)(A-pI)+\dfrac{e^{p}\{\{(p-\alpha)\cos q+q\sin q\}\}}{(p-\alpha)^2+q^2}(A-\alpha I)
のようになるが，具体的な場合を計算するには素直に
\exp A=a A^2+b A + cI とおき、連立方程式
e^{\alpha}=a \alpha^2+b \alpha + c，
e^p(\cos q+i\sin q)=a (p+qi)^2+b (p+qi) + c ，
e^p(\cos q-i\sin q)=a (p-qi)^2+b (p-qi) + c
を解く方が早い。
\begin{pmatrix} e^{p}(\cos q+i\sin q) \\ e^{p}(\cos q- i\sin q)\\ e^{\alpha} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p^2-q^2 + 2pqi & p+qi & 1 \\ p^2-q^2 - 2pqi & p-qi & 1 \\ \alpha^2 & \alpha & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}
から
\begin{pmatrix} e^{p}\cos q \\ e^{p}\sin q/q \\ e^{\alpha} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p^2-q^2 & p & 1 \\ 2p & 1 & 0 \\ \alpha^2 & \alpha & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}
を経由して
\begin{pmatrix} e^{p}\cos q-(p-\alpha)e^{p}\sin q/q-e^{\alpha} \\ e^{p}\sin q/q \\ e^{\alpha} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -(p-\alpha)^2-q^2 & 0 & 0 \\ 2p & 1 & 0 \\ \alpha^2 & \alpha & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}
と変形できるので，
a=\dfrac{e^{\alpha}-e^{p}\cos q+(p-\alpha)e^{p}\sin q/q}{(p-\alpha)^2+q^2}，
b=\dfrac{e^p\sin q}{q}-2pa，
c=e^{\alpha}-\alpha^2 a-\alpha b
となり，
aA^2+bA+cI=aA^2+bA+(e^{\alpha}-\alpha^2 a-\alpha b)I
=a(A^2-\alpha^2 I)+b(A-\alpha I)+e^{\alpha}I
=a\{A^2-\alpha^2 I-2p(A-\alpha I)\}+\dfrac{e^p\sin q}{q}(A-\alpha I)+e^{\alpha}I
=\dfrac{e^{\alpha}-e^{p}\cos q+(p-\alpha)e^{p}\sin q/q}{(p-\alpha)^2+q^2}(A-\alpha I)\{A+(\alpha-2p) I\}+\dfrac{e^p\sin q}{q}(A-\alpha I)+e^{\alpha}I
と求めることができる。

例えば3次交代行列
A=\begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix} について，
\textbf{a}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}=||\textbf{a}||\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}
とおき，N=\begin{pmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{pmatrix} とおくと，
A の固有値は、u=||\textbf{a}|| を用いて 0, \pm ui の形をしているので、
1=c，
\cos u+i\sin u=-u^2 a+ubi + c ，
\cos u-i\sin u=-u^2 a-ubi + c
という連立方程式を解けば良く，
a=\dfrac{1-\cos u}{u^2}，b=\dfrac{\sin u}{u}，c=1
となり，
\exp A=\dfrac{1-\cos u}{u^2}A^2+\dfrac{\sin u}{u}A+I
=(1-\cos ||\textbf{a}||)\left(\dfrac{1}{||\textbf{a}||}A\right)^2+\sin ||\textbf{a}||\left(\dfrac{1}{||\textbf{a}||}A\right)+I
=(1-\cos ||\textbf{a}||)N^2+\sin ||\textbf{a}|| N+I
が成立する。ここで N^2=\textbf{n}\textbf{n}^{\top}-I だから，
\exp A=(1-\cos ||\textbf{a}||)\textbf{n}\textbf{n}^{\top}+(\sin ||\textbf{a}||) N+(\cos ||\textbf{a}||) I
これは3次元回転の Rodorigues の公式そのものである。