2次行列の指数関数 exp A

数学

Twitter で2次正方行列の固有値重解で対角化できない場合の \exp A を求める話があった。

固有値が \alpha で重解ならば、対角化できようができまいが、Taylor 展開と、Cayley-Hamilton の定理を使うと
\exp A = e^{\alpha} I + e^{\alpha}(A-\alpha I)
と求まる。微分方程式を解くための \exp (tA) も
\exp (tA) = e^{t\alpha} I + e^{t\alpha}(tA-t\alpha I)
と一瞬で求まる。でも、このことが書いてある本は記憶にない。Twitter の
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
の場合は
\exp (tA) = e^{t} I + t e^{t}(A-I)=e^t \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
と求まる。ジョルダン標準形も一般射影分解も不要。

3次正方行列の固有値が \alpha で3重解の場合も
\exp A = e^{\alpha} I + e^{\alpha}(A-\alpha I)+\dfrac{e^{\alpha}}{2}(A-\alpha I)^2
と求まる。微分方程式を解くための \exp (tA) も
\exp (tA) = e^{t\alpha} I + te^{t\alpha}(A-\alpha I)+\dfrac{t^2e^{t\alpha}}{2}(A-\alpha I)^2
と一瞬で求まる。

このような形で \exp A を求める本が近日中に発売されるとかされないとか。

ついでながら、この考え方をもう少し拡張してやると、computer vision の常識 Rodrigues' Rotation Formula も手早く導ける。