行列のクロネッカ和と固有値 - 球面倶楽部零八式 mark II

$A$ を $n$ 次正方行列、 $B$ を $m$ 次正方行列とするとき
$A\oplus B:=A\otimes I_m +I_n\otimes B$ をクロネッカ和という．

$Ax_i=\lambda_i x_i$ 及び $By_j=\mu_j y_j$ のとき、
$(A\oplus B)(x_i\otimes y_j)=(A\otimes I_m +I_n\otimes B)(x_i\otimes y_j)$
${}=(Ax_i)\otimes (I_m y_j)+(I_n x_i)\otimes (By_j)$
${}=\lambda_i(x_i\otimes y_j)+\mu_j(x_i\otimes y_j)$
${}=(\lambda_i+\mu_j)(x_i\otimes y_j)$
であるから、 $(A\otimes B)$ の固有値は $A$ の固有値と $B$ の固有値の和である
(固有方程式は成分について連続であるから、固有値が重複する場合は少し成分を動かしてから極限をとれば良い)。