行列のクロネッカ積と固有値 - 球面倶楽部零八式 mark II

$A\otimes B:=[a_{ij}B]$ (行列 $A$ の $a_{ij}$ を行列 $a_{ij}B$ で置き換えた大きい行列

$vec(X):=$ (行列 $X$ の1列目から順に縦につないだ大きいベクトル)

と定義すると、簡単な計算により

$vec(ABC)=(C^{\top}\otimes A) vec(A)$ や $(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)$

が成立する。正方行列 $A,B$ に対し $Ax_i=\lambda_i x_i$ 及び $By_j=\mu_j y_j$ のとき、
$(A\otimes B)(x_i\otimes y_j)=(Ax_i)\otimes (By_j)=\lambda_i\mu_j(x_i\otimes y_j)$
であるから、 $(A\otimes B)$ の固有値は $A$ の固有値と $B$ の固有値の積である
(固有方程式は成分について連続であるから、固有値が重複する場合は少し成分を動かしてから極限をとれば良い)。