exp A の補足 - 球面倶楽部零八式 mark II

行列の指数関数 exp A について（ext(tA)の微分） - 球面倶楽部零八式 mark II

に書いた話は、

作者:千葉逸人
現代数学社

の p.79 にある定理5.6にも載っていた。ただ、この本の証明は $r(\lambda)-e^{\lambda t}$ は多項式ではないのに、 $r(\lambda)-e^{\lambda t}$ が $(\lambda-\lambda_i)^{n_i}$ を因数として持つと書いていて少々乱暴。
(正確には、 $r(\lambda)-e^{\lambda t}$ が $\lambda$ 軸と、 $\lambda=\lambda_i$ で $n_i$ 次の接触、つまり $\dfrac{r(\lambda)-e^{\lambda t}}{(\lambda-\lambda_i)^{n_i}}$ が連続ということで、本ブログでの $r(\lambda)\sim_{(\lambda-\lambda_i)^{n_i}}e^{\lambda t}$ と同じこと。まぁ、やっていることは同じなんだけど。)

ちなみに、この定理の次の例題が、 $A$ の固有値が2で3重解の場合なのだけど、3重解の場合は
$\exp(tA)=\dfrac{t^2e^{2t}}{2}(A-2I)^2+te^{2t}(A-2I)+e^{2t}$
と定理5.6を使わない方が速いので、定理5.6のありがたみが伝わらなくて何だかなぁ。