負の二項係数の覚え書き - 球面倶楽部零八式 mark II

任意の整数 $n$ と非負整数 $r$ について ${}_n\mbox{P}_r$ を次のように定義する。
${}_n\mbox{P}_r=\left\{\begin{array}{ll} n(n-1)\cdots (n-r+1) & (r\in\mathbb{N}) \\ 1 & (r=0)\end{array}\right.$

任意の自然数 $n,r$ について ${}_n\mbox{C}_r$ を次のように定義する。
${}_n\mbox{C}_r=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{{}_n\mbox{P}_r}{r!} & (r\in\mathbb{N}\cup\{0\}) \\ 0 & (r\lt 0)\end{array}\right.$

このとき，普通の本には、
「負の整数 $n$ と非負整数 $r$ について」
${}_n\mbox{C}_r=(-1)^r {}_{(r-1)-n}\mbox{C}_r$
が成り立つとしているが、実はこの式は任意の整数 $n,r$ について成り立つ。 $n$ と $(r-1)-n$ は $r-1$ を軸に対称な位置にあるので、この変換は対合となるので、あたり前といえばあたり前なのだが、このことを明確に述べている本はあまりないように思う。ちなみに $r\lt 0$ のときは両辺0で等しい。