負の階乗の覚え書き

数学

www2.math.upenn.edu

を久しぶりに読んだ(リンク先から pdf ダウンロード可能)。

p.46 にある、
\dfrac{(-n)!}{(-2n)!}=(-1)^n\dfrac{(2n)!}{n!}
についての覚え書き

ガンマ関数の性質 \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\dfrac{\pi}{\sin\pi z} から z=n，2n(自然数)として
(n-1)!(-n)!=\dfrac{\pi}{\sin n\pi}，
(2n-1)!(-2n)!=\dfrac{\pi}{\sin 2n\pi}
となり，形式的に
\dfrac{(-n)!}{(-2n)!}=\dfrac{\sin 2n\pi}{\sin n\pi}\cdot\dfrac{(2n-1)!}{(n-1)!}=2\cos n\pi\cdot\dfrac{(2n-1)!}{(n-1)!}
=\dfrac{2n}{n}(-1)^n\cdot\dfrac{(2n-1)!}{(n-1)!}=(-1)^n\dfrac{(2n)!}{n!}
が成立する。