行列の指数関数 exp A について（ラプラス変換）

行列の指数関数 exp A の求め方の一般論のアウトライン - 球面倶楽部零八式 mark II

で考えた訳だが、

システム制御II(担当:平田健太郎)第3回スライド
http://imclab.sys.okayama-u.ac.jp/~kent/DIR/sc2-03.pdf

や

www.gifu-nct.ac.jp

に、ラプラス変換を用いて
$e^{tA}={\cal L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]$
として求める方法がある。

固有方程式の定義は2通りあるが、ここでは
$\Phi_A(s)=\textrm{det}(sI-A)$ として、余因子行列を $\textrm{adj}$ をつけて表すと
$(sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{\Phi_A(s)}\textrm{adj}(sI-A)$
のように $(sI-A)^{-1}$ の各成分は $s$ の有理式で表現できるので、それぞれの成分を逆ラプラス変換することにより $\exp (tA)$ を求めることができる。もちろん、 $t=1$ とすると $\exp A$ が求まる。

特に、後者の web page には、ラプラス変換を用いない方法があり、このブログで述べた、ヘビサイドの cover up 法を使うよりも、わかり易い。 $\exp A$ を直接求めるには、ヘビサイドの cover up 法が良さそうだけど、 $\exp (tA)$ を直接求めるようにすると、これを $t$ の関数と考えて微分することができるので、条件式が簡単になるのか。

次のエントリーで説明する。